第1章 计算方法概论 1
1.1引言 1
1.1.1计算方法的意义 1
1.1.2计算方法的特点与任务 1
1.2算法与效率 3
1.2.1算法 3
1.2.2算法的效率 4
1.3计算机机器数系与浮点运算 6
1.3.1二进制数与计算机机器数系 6
1.3.2数据的表示与浮点运算 8
1.4误差 10
1.4.1误差的概念 10
1.4.2四则运算与函数求值的误差 12
1.5问题的性态与算法的数值稳定性 15
1.5.1问题的性态与条件数 15
1.5.2算法的数值稳定性 17
1.6应用实例与MATLAB 22
1.6.1 MATLAB简介 22
1.6.2应用实例 26
小结 27
习题1 27
数值实验1 29
第2章 数值计算的理论基础 31
2.1度量空间与压缩映射 31
2.1.1距离与极限 31
2.1.2压缩映射 32
2.2内积 34
2.2.1线性空间 34
2.2.2内积空间与元素的夹角 35
2.3范数 37
2.3.1赋范线性空间 37
2.3.2向量范数与矩阵范数 39
小结 44
习题2 45
第3章 非线性方程求根 47
3.1引言 47
3.1.1问题的背景 47
3.1.2基本概念 47
3.2二分法 48
3.3不动点迭代法 50
3.3.1不动点迭代 50
3.3.2不动点迭代的收敛性、误差估计 52
3.4牛顿迭代法 56
3.4.1牛顿迭代法及其收敛性 56
3.4.2牛顿迭代法的变形 58
3.5迭代法收敛阶与加速收敛 61
3.5.1迭代法收敛阶 61
3.5.2重根的计算 63
3.5.3加速收敛 65
3.6应用实例与MATLAB 68
3.6.1多项式求根 68
3.6.2应用实例 71
小结 73
习题3 73
数值实验3 75
第4章 线性方程组的直接解法 77
4.1引言 77
4.2 Gauss消元法 78
4.2.1回代法 78
4.2.2 Gauss顺序消元法 79
4.2.3选主元消元法 83
4.2.4 Gauss消元法的计算量与稳定性 87
4.3矩阵分解与应用 89
4.3.1矩阵的直接LU分解 89
4.3.2追赶法 93
4.3.3平方根法 96
4.4误差分析 100
4.4.1方程组的误差估计 100
4.4.2矩阵的条件数与迭代求精法 101
4.5应用实例与MATLAB 103
小结 108
习题4 108
数值实验4 110
第5章 方程组的迭代解法 113
5.1引言 113
5.2线性方程组的迭代解法 113
5.2.1常用迭代法 114
5.2.2迭代法收敛性分析 120
5.3非线性方程组的迭代解法 131
5.3.1简单迭代法 131
5.3.2牛顿迭代法 134
5.3.3最速下降法 136
5.4应用实例与MATLAB 138
小结 141
习题5 142
数值实验5 144
第6章 矩阵特征值的数值计算 147
6.1引言 147
6.2幂法与反幂法 149
6.2.1幂法与加速方法 149
6.2.2反幂法 158
6.3矩阵的正交分解 160
6.3.1豪斯荷尔德变换和吉凡斯变换 160
6.3.2矩阵正交相似上海森伯格阵 165
6.4 QR方法 168
6.4.1矩阵的QR分解 168
6.4.2 QR方法 171
6.4.3 QR方法的改进 172
6.5雅可比方法 176
6.6应用实例与MATLAB 180
6.6.1 MATLAB中关于特征值与矩阵分解相关的命令 180
6.6.2应用实例 181
小结 186
习题6 186
附录6 187
数值实验6 190
第7章 插值法 193
7.1引言 193
7.1.1问题描述 193
7.1.2代数插值 194
7.2拉格朗日插值 195
7.2.1线性插值和抛物插值 195
7.2.2拉格朗日插值多项式 196
7.2.3插值余项与误差估计 197
7.3牛顿插值 199
7.3.1差商及其性质 199
7.3.2牛顿插值多项式及其插值余项 201
7.3.3差分与等距结点牛顿插值 204
7.4埃尔米特插值 207
7.4.1埃尔米特插值多项式 207
7.4.2埃尔米特插值余项 209
7.5分段低次插值多项式 210
7.5.1龙格现象与分段线性插值 210
7.5.2分段三次埃尔米特插值多项式 212
7.6三次样条插值 213
7.6.1三次样条函数的概念 213
7.6.2三弯矩法求三次样条插值函数 215
7.7二维插值 221
7.8应用实例与MATLAB 224
7.8.1一维插值 224
7.8.2高维插值 226
小结 230
习题7 230
附录7 233
数值实验7 239
第8章 函数逼近与曲线拟合 243
8.1引言 243
8.2正交多项式 244
8.2.1正交函数系 244
8.2.2勒让德多项式 246
8.2.3切比雪夫多项式 248
8.2.4其他常用的正交多项式 249
8.3最佳平方逼近 250
8.3.1问题描述与求解 250
8.3.2基于幂函数的最佳平方逼近 252
8.3.3基于正交函数的最佳平方逼近 255
8.4曲线拟合的最小二乘法 258
8.4.1问题描述与求解 258
8.4.2基于正交函数的最小二乘法 262
8.5最佳平方三角逼近与离散傅里叶变换 264
8.6有理逼近 268
8.7应用实例与MATLAB 272
8.7.1函数逼近 272
8.7.2数据拟合 273
8.7.3快速傅里叶变换与三角插值 277
小结 277
习题8 278
数值实验8 281
第9章 数值积分与数值微分 283
9.1引言 283
9.2插值型求积公式 284
9.2.1代数精度 285
9.2.2牛顿-柯特斯积分 286
9.2.3牛顿-柯特斯公式的求积余项和数值稳定性 288
9.2.4复化求积公式 290
9.2.5自适应求积公式 293
9.3理查森外推法与龙贝格求积公式 295
9.3.1理查森外推加速法 295
9.3.2龙贝格求积公式 296
9.4高斯求积公式 299
9.4.1高斯型求积公式 300
9.4.2几种常用高斯型求积公式 302
9.5多重积分的数值计算 308
9.5.1插值型求积公式 308
9.5.2重积分的复化公式 310
9.5.3计算多重积分的高斯法 312
9.6数值微分 313
9.6.1插值型数值微分 316
9.6.2数值微分的外推法 318
9.7应用实例和MATLAB 320
9.7.1 MATLAB中关于积分的命令 320
9.7.2应用实例 322
小结 323
习题9 324
数值实验9 325
第10章 常微分方程初值问题的数值解法 327
10.1引言 327
10.2初值问题解法的基本概念 327
10.3简单单步法 328
10.3.1欧拉方法 328
10.3.2梯形公式与改进的欧拉方法 331
10.4单步法的误差与稳定性 334
10.4.1单步法的截断误差与阶 334
10.4.2单步法的收敛性 336
10.4.3单步法的稳定性 337
10.5高阶单步方法 339
10.5.1泰勒方法 339
10.5.2龙格-库塔方法 340
10.6线性多步法 345
10.6.1亚当姆斯显式法 346
10.6.2亚当姆斯隐式法 349
10.6.3线性多步法的稳定性 351
10.6.4亚当姆斯预测—校正法 353
10.7一阶微分方程组与高阶微分方程 356
10.7.1一阶微分方程组的数值解法 356
10.7.2高阶微分方程 357
10.8应用实例与MATLAB 359
10.8.1 MATLAB关于常微分方程初值问题数值解法的命令 359
10.8.2应用实例 360
小结 363
习题10 363
数值实验10 365
第11章 常微分方程边值问题的数值解法 367
11.1引言 367
11.2打靶法 367
11.3有限差分方法 372
11.4应用实例与MATLAB 375
11.4.1 MATLAB关于常微分方程边值问题数值解法的命令 375
11.4.2应用实例 375
小结 379
习题11 380
数值实验11 381
部分习题参考答案 383
参考文献 396