第1章 引论 1
导读 1
1.1 数值计算方法 2
1.2 误差的种类及其来源 10
1.3 绝对误差和相对误差 12
1.3.1 绝对误差和绝对误差限 12
1.3.2 相对误差和相对误差限 13
1.4 有效数字及其与误差的关系 14
1.4.1 有效数字 14
1.4.2 有效数字与相对误差的关系 15
1.5 误差的传播与估计 16
1.5.1 误差估计的一般公式 17
1.5.2 误差在算术运算中的传播 18
1.6 算法的数值稳定性及其注意事项 21
1.6.1 算法的数值稳定性 21
1.6.2 数值计算中应该注意的问题 23
1.7 数值实验 24
小结 27
习题1 27
实验1 28
秦九韶简介 28
主要参考文献 29
第2章 插值方法 31
导读 31
2.1 插值概念 32
2.1.1 代数插值问题 32
2.1.2 插值多项式的存在唯一性 33
2.2 拉格朗日插值公式 34
2.2.1 两点插值 34
2.2.2 三点插值 36
2.2.3 多点插值 38
2.2.4 插值余项 39
2.3 埃特金算法 41
2.4 埃尔米特插值公式 44
2.4.1 泰勒插值 44
2.4.2 埃尔米特插值 45
2.5 分段插值 48
2.5.1 高次插值的龙格现象 48
2.5.2 分段插值的概念 49
2.5.3 分段线性插值 50
2.5.4 分段三次埃尔米特插值 51
2.6 样条插值 52
2.6.1 样条函数的概念 52
2.6.2 三次样条插值 53
2.6.3 三次样条插值函数的导出 55
2.7 曲线拟合的最小二乘法 58
2.7.1 直线拟合 59
2.7.2 多项式拟合 60
2.7.3 其他拟合类型 62
2.8 数值实验 63
小结 68
习题2 69
实验2 70
拉格朗日简介 72
主要参考文献 73
第3章 数值积分与数值微分 74
导读 74
3.1 数值积分基本概念 75
3.1.1 数值积分法 75
3.1.2 代数精度 76
3.2 插值型数值积分公式 78
3.2.1 低阶插值型数值积分公式 78
3.2.2 牛顿-柯特斯公式 80
3.3 复合数值积分公式 82
3.3.1 复合梯形公式 82
3.3.2 复合辛普森公式 82
3.3.3 变步长梯形公式 83
3.3.4 龙贝格算法 86
3.4 高斯型数值积分公式 90
3.4.1 定义及其特征 90
3.4.2 高斯公式的一般构造法 93
3.5 数值微分 94
3.5.1 差商与微商 94
3.5.2 插值函数与数值微分 95
3.5.3 数值积分与数值微分 96
3.6 数值实验 97
小结 102
习题3 103
实验3 103
勒让德简介 104
主要参考文献 104
第4章 非线性方程求根 106
导读 106
4.1 根的搜索 107
4.1.1 逐步搜索法（扫描法） 107
4.1.2 区间二分法 107
4.2 迭代法 109
4.2.1 迭代法的设计思想 109
4.2.2 线性迭代的启示 111
4.2.3 压缩映像原理 112
4.2.4 迭代法的局部收敛性 115
4.2.5 迭代法的收敛速度 116
4.3 牛顿法 116
4.3.1 牛顿公式及误差分析 117
4.3.2 牛顿法的局部收敛性 119
4.3.3 牛顿法的应用及算法 119
4.4 牛顿法的改进与变形 121
4.4.1 牛顿下山法 121
4.4.2 弦截法 123
4.4.3 快速弦截法 123
4.5 数值实验 124
小结 134
习题4 134
实验4 135
牛顿简介 135
主要参考文献 136
第5章 线性方程组的迭代法 138
导读 138
5.1 雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法 139
5.1.1 雅可比迭代法 139
5.1.2 高斯-赛德尔迭代法 142
5.2 迭代法的收敛性 145
5.2.1 迭代收敛的概念 146
5.2.2 严格对角占优阵的概念 146
5.2.3 迭代收敛的一个充分条件 147
5.3 超松弛迭代 148
5.4 数值实验 150
小结 154
习题5 155
实验5 156
雅可比简介 156
主要参考文献 157
第6章 线性方程组的直接法 158
导读 158
6.1 追赶法 159
6.1.1 二对角方程组的回代过程 159
6.1.2 追赶法 160
6.2 消去法 163
6.2.1 高斯消去法 163
6.2.2 高斯-若尔当消去法 166
6.2.3 高斯主元素消去法 167
6.3 收敛性 170
6.3.1 病态方程组 170
6.3.2 精度分析 173
6.4 数值实验 173
小结 180
习题6 181
实验6 182
高斯简介 182
主要参考文献 183
第7章 微分方程的数值解法 185
导读 185
7.1 欧拉方法 186
7.1.1 欧拉格式 186
7.1.2 单步法的局部截断误差和阶 189
7.1.3 梯形方法 190
7.1.4 改进的欧拉格式 191
7.2 龙格-库塔方法 192
7.2.1 龙格-库塔方法的设计思想 192
7.2.2 龙格-库塔方法的推导 194
7.3 亚当姆斯方法 196
7.3.1 亚当姆斯格式 196
7.3.2 亚当姆斯预报-校正系统 198
7.4 收敛性和稳定性 198
7.4.1 收敛性 198
7.4.2 稳定性 199
7.5 方程组和高阶方程的情形 200
7.5.1 一阶方程组 200
7.5.2 高阶方程 201
7.6 数值实验 201
小结 206
习题7 207
实验7 208
欧拉简介 208
主要参考文献 209
部分习题参考答案 211