第一部分 线性代数 2
第1章 行列式 2
1.1行列式的标志 2
1.2行列式的本质 2
1.3行列式的基本计算方法 3
1.3.1特殊行列式的计算 3
1.3.2一般行列式的计算 5
1.4行列式的五条性质 7
1.5克拉默法则 10
1.6矩阵 12
1.7矩阵的运算 13
1.7.1矩阵与矩阵相加 13
1.7.2数字与矩阵相乘 13
1.7.3矩阵与矩阵相乘 13
1.8矩阵的转置 15
1.9方阵、对角矩阵、单位矩阵、逆矩阵 16
1.9.1方阵 16
1.9.2对角矩阵 16
1.9.3单位矩阵 16
1.9.4逆矩阵 16
1.10矩阵的向量表示法 17
1.11关于代数余子式的三句话 18
1.11.1第一句话 18
1.11.2第二句话 18
1.11.3第三句话 19
1.12克拉默法则的推论 20
1.12.1第一个充分必要条件 21
1.12.2第二个充分必要条件 22
1.12.3第三个充分必要条件 22
1.12.4第四个充分必要条件 22
1.13关于行列式的两种计算题 25
1.13.1抽象行列式的计算 25
1.13.2具体行列式的计算 26
1.14贯穿考研试题的思维定式 37
第2章 矩阵 39
2.1矩阵的初等变换 39
2.2初等矩阵 39
2.3矩阵的秩 40
2.3.1矩阵子式的定义 40
2.3.2矩阵秩的定义 42
2.3.3利用初等行变换来求矩阵的秩 42
2.4第一个大总结 46
2.5第二个大总结 47
2.6矩阵乘法的两条定律 49
2.6.1矩阵乘法满足结合律 49
2.6.2矩阵乘法对矩阵加减法满足分配律 49
2.7可交换的矩阵相乘特例 49
2.8关于矩阵转置的四个公式 49
2.9关于矩阵可逆的六个公式 50
2.10可逆矩阵、初等变换、初等矩阵、矩阵秩之间的关系及等价矩阵 53
2.10.1可逆矩阵与初等矩阵的关系 53
2.10.2初等矩阵与初等变换的关系 53
2.10.3初等变换与矩阵的秩的关系 54
2.10.4初等矩阵的逆矩阵 55
2.10.5等价矩阵 56
2.11分块矩阵及一些知识点的深化 57
2.11.1分块矩阵 57
2.11.2反对称矩阵 57
2.11.3求一个矩阵的逆矩阵 58
2.11.4特殊分块矩阵的逆矩阵 61
2.11.5求一个矩阵的若干次幂 63
第3章 向量 67
3.1向量与向量组的基本概念 67
3.2线性表出的概念 67
3.3线性相关与线性无关的概念 68
3.4最大无关组 69
3.5“向量组的秩”的概念 69
3.6“向量组的秩”与“矩阵的秩”的关系 69
3.7线性表出的推广 70
3.8等价向量组 71
3.9关于线性相/无关要记的几个结论 71
3.10方程组的求解 72
3.10.1求齐次方程组的通解 73
3.10.2求非齐次方程组的通解 77
3.11五个重要的定理 80
3.11.1定理1 80
3.11.2定理2 81
3.11.3定理3 81
3.11.4定理4 84
3.11.5定理5 85
3.11.6真题分析 85
3.12线性表出的本质 87
3.13初等行变换前后相应的列向量组的线性相关性 87
3.14与秩有关的八个公式 89
3.15 向量空间 91
3.15.1向量空间，基，维数，坐标 91
3.15.2基变换公式 92
3.15.3正交向量，正交矩阵，正交化 94
3.16线性相/无关的证明题 99
3.16.1方法1 99
3.16.2方法2 99
第4章 解线性方程组 102
4.1求两个方程组的公共解 102
4.2同解方程组的证明 104
4.2.1方法1 104
4.2.2方法2 105
4.3已知齐次方程组的基础解系，反求齐次方程组 107
4.4线性方程组解的性质 107
4.5由方程组中参数的取值判断解的类型 110
4.6已知方程组解的类型，求方程组中的参数 113
第5章 特征值、特征向量、相似矩阵 115
5.1特征值、特征向量的基本概念 115
5.2特征值、特征向量的计算方法 115
5.3对称矩阵、正交矩阵的复习 118
5.4矩阵有多少个特征值为零 119
5.5相似矩阵 120
5.6对角化 120
5.7合同矩阵 120
5.8证明两个矩阵有相同的特征值 121
5.9几个需要记住的结论 122
5.9.1结论1 122
5.9.2结论2 122
5.9.3结论3 122
5.9.4结论4 123
5.10与特征向量有关的证明题通常会用到反证法 123
5.11由A的特征值、特征向量推A的多项式的特征值、特征向量 124
5.12怎样的方阵可以对角化 125
5.13若方阵可以对角化，？和P怎么求 128
5.14关于相似矩阵的五个小结论 132
5.15 实对称阵的两个来自不同特征值的特征向量必正交 132
5.16实对称阵一定可以相似于对角矩阵 133
5.17实对称阵一定可以合同于对角矩阵 138
第6章 二次型 141
6.1二次型的定义 141
6.2二次型的对应矩阵 141
6.3利用矩阵乘法来表示二次型 142
6.4标准形 143
6.5规范形 143
6.6化二次型为标准形 143
6.7合同二次型 144
6.8正定二次型、正定矩阵 144
6.9用正交变换法化二次型为标准形 144
6.10用配方法化二次型为标准形 148
6.11两个对称矩阵合同的充分必要条件 150
6.12正定二次型、正定矩阵的证明方法 151
6.12.1正定矩阵的证明方法 151
6.12.2正定二次型的证明方法 154
第二部分高等数学 156
第1章 极限与连续 156
1.1极限长什么样 156
1.2极限的计算方法 156
1.2.1函数的极限的计算方法 156
1.2.2数列的极限的计算方法 206
1.3三个小技巧 225
1.3.1第一个小技巧 225
1.3.2第二个小技巧 226
1.3.3第三个小技巧 229
1.4极限的定义 230
1.4.1数列的极限的定义 231
1.4.2趋于无穷大时函数的极限的定义 233
1.4.3趋于定点时函数的极限的定义 234
1.5函数的连续性与间断点 236
1.5.1函数的连续性 236
1.5.2函数的间断点 243
1.6无穷小、同阶无穷小、等阶无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k阶无穷小 247
1.6.1无穷小 247
1.6.2同阶无穷小 247
1.6.3等价无穷小 248
1.6.4高阶无穷小 248
1.6.5低阶无穷小 250
1.6.6 k阶无穷小 250
1.7两个常用的结论 250
1.8函数的极限存在性 252
1.8.1函数和差的极限存在性 252
1.8.2函数乘积的极限存在性 253
1.9已知一极限求另外一极限 254
1.10求以数列极限的形式给出来的函数f（x）的表达式 260
1.11函数极限的保号性 267
1.11.1趋于无穷型的函数极限的保号性 267
1.11.2趋于无穷型的函数极限的保号性的推论 268
1.11.3趋于定点型的函数极限的保号性 269
1.11.4趋于定点型的函数极限的保号性的推论 269
1.12函数极限与数列极限的相互转化 271
1.12.1函数极限转化为数列极限 271
1.12.2数列极限转化为函数极限 274
第2章 导数与微分 277
2.1可导的定义 277
2.1.1函数在某一点处可导的定义 277
2.1.2函数在某一点处左/右可导的定义 282
2.1.3函数在某区间可导的定义 294
2.2常用的导数公式 295
2.2.1基本初等函数的导数公式 296
2.2.2导数的四则运算法则 297
2.2.3复合函数的导数公式 297
2.2.4幂指函数求导 298
2.3可微的定义 299
2.4可微、可导、连续三者的关系 300
2.5很重要的四个知识点 303
2.5.1第一个知识点 303
2.5.2第二个知识点 303
2.5.3第三个知识点 311
2.5.4第四个知识点 314
2.6高阶导推低阶导 315
2.7求某函数的高阶导数的方法 315
2.8求曲线的渐近线 318
2.9分段函数求导 323
第3章 微分中值定理及其应用 329
3.1求函数在给定区间的单调性 329
3.2求函数的单调区间 329
3.3求函数的极值点与极值 331
3.4求函数在给定区间的凹凸性 333
3.5求函数的凹凸区间 334
3.6求函数的拐点 336
3.7与极值点和拐点有关的一个重要结论 340
3.8求函数在给定区间的最值 341
3.9求两个函数的交点个数或求一个方程的实根个数 345
3.10证明恒等式 348
3.11证明不等式 353
3.12证明零点问题 360
第4章 一元函数积分学 371
4.1原函数与不定积分 371
4.1.1原函数 371
4.1.2不定积分 371
4.2不定积分长什么样 372
4.3定积分和反常积分长什么样 372
4.4不定积分和定积分的计算方法 374
4.4.1不定积分的计算方法 374
4.4.2定积分的计算方法 409
4.5反常积分的计算方法 414
4.6定积分的应用 422
4.6.1利用定积分求面积 422
4.6.2利用定积分求旋转体的体积 426
4.7求被积函数中含绝对值的定积分与反常积分 434
4.8两个重要知识点 435
4.8.1原函数的存在性 435
4.8.2对称区间上奇偶函数的定积分与反常积分 440
第5章 微分方程 445
5.1微分方程什么样 445
5.2微分方程的阶 446
5.3微分方程的解 447
5.4微分方程的通解 448
5.5微分方程的初始条件与微分方程的特解 448
5.6求一阶微分方程的通解的方法 448
5.6.1可分离变量法 448
5.6.2换元法 451
5.6.3公式法 454
5.6.4伯努利法 457
5.6.5变量代换法 459
5.7求二阶常系数线性微分方程的通解的方法 459
5.7.1求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的方法 460
5.7.2求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的方法 461
5.8求二阶变系数微分方程的通解的方法 464
5.8.1求不含y的二阶变系数微分方程的通解的方法 464
5.8.2求不含x的二阶变系数微分方程的通解的方法 464
5.9线性微分方程解的性质与结构 465
第6章 多元函数微分学 468
6.1什么叫多元函数 468
6.2二元函数的极限计算方法 468
6.3二元函数的连续性 475
6.4可偏导的定义 477
6.4.1函数在某一点处可偏导的定义 477
6.4.2函数在某区间可偏导的定义 482
6.5利用公式求？△/？？ 483
6.5.1当“△”是单一的字母时？△/？？的求法 483
6.5.2当“△”不是单一的字母时？△/？？的求法 498
6.6分段函数求偏导 503
6.7抽象函数求偏导 511
6.8二元函数的极值、最值、条件极值 519
6.8.1二元函数的极值 519
6.8.2二元函数的最值 522
6.8.3条件极值 523
6.9求空间曲线的切线与法平面以及求曲面的法线与切平面 526
6.9.1求空间曲线的切线与法平面 526
6.9.2求曲面的法线与切平面 529
第7章 二重积分 533
7.1二重积分的形式 533
7.2当被积函数为1时二重积分的意义 534
7.3二重积分的计算方法 536
7.4二重积分的三条性质 561
7.5二重积分是一个数 565
7.6求解被积函数中含绝对值的二重积分 566
7.7二重积分的对称性 577
7.8二重积分的轮换对称性 582
7.9“先x后y型”二重积分与“先y后x型”二重积分的相互转化 584
7.10计算二重积分时的一个小技巧 586
7.11均匀薄片的形心 587
第8章 无穷级数 589
8.1什么叫常数项级数 589
8.2常数项级数的分类 590
8.3常数项级数的收敛与发散 594
8.4常数项级数的六个重要性质 595
8.5什么叫幂级数 598
8.6幂级数的收敛域与和函数 599
8.6.1幂级数的收敛域 599
8.6.2幂级数的和函数 599
8.7正项级数的敛散性判别 600
8.8交错级数的敛散性判别 609
8.9一般级数的敛散性判别 613
8.10求幂级数的收敛域 614
8.11求幂级数的和函数 621
第三部分 概率论与数理统计 628
第1章 随机事件和概率 628
1.1随机试验 628
1.2样本空间 628
1.3样本点 629
1.4随机事件 629
1.5随机事件之间的关系 630
1.6随机事件的概率 631
1.7两种特殊的随机事件 631
1.8互斥 632
1.8.1两个随机事件互斥 632
1.8.2两个随机事件对立 632
1.9相互独立 633
1.9.1两个随机事件相互独立 633
1.9.2三个随机事件相互独立 633
1.9.3多于三个随机事件相互独立 633
1.10关于互斥、相互独立的进一步讨论 633
1.11三大公式 633
1.12四条算律 637
1.13与概率有关的应用题 641
1.13.1第一类与概率有关的应用题——几何概型 641
1.13.2第二类与概率有关的应用题——伯努利概型 647
1.13.3第三类与概率有关的应用题——全概率概型与贝叶斯概型 650
第2章 随机变量及其概率分布 657
2.1为什么要引入随机变量 657
2.2随机变量的定义 657
2.3分布函数的定义 658
2.4概率密度函数的定义 659
2.5随机变量的分类 663
2.5.1离散型随机变量 663
2.5.2连续型随机变量 666
2.5.3混合型随机变量 668
2.6三条重要结论 668
2.7分布律 673
2.8 F（x）为某一随机变量的分布函数的充要条件 676
2.9通过分布函数求概率 681
2.10 F（x）为某一随机变量的概率密度函数的充要条件 684
2.11通过概率密度函数求概率 687
2.12常用分布 692
2.12.1二项分布 692
2.12.2泊松分布 694
2.12.3几何分布 696
2.12.4均匀分布 697
2.12.5指数分布 700
2.12.6正态分布 701
2.13随机变量函数的分布 705
第3章 二维随机变量及其分布 710
3.1二维随机变量的联合分布律、边缘分布律、条件分布律 710
3.2二维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数 714
3.3二维随机变量的联合概率密度函数、边缘概率密度函数、条件概率密度函数 716
3.4通过联合概率密度函数f（x，y）求概率 729
3.5二维均匀分布 732
3.6随机变量的独立性 735
3.7两个随机变量函数的分布 738
3.8 x2分布、t分布、F分布 745
3.8.1 x2（读作“kai方”）分布 745
3.8.2 t分布 747
3.8.3 F分布 748
第4章 随机变量的数字特征 749
4.1数学期望的基本计算方法 749
4.2数学期望的性质 753
4.3方差的基本计算方法 758
4.4方差的性质 761
4.5常见分布的数学期望与方差 764
4.6协方差与相关系数 767
4.6.1协方差 767
4.6.2相关系数 769
第5章 大数定律和中心极限定理 772
5.1切比雪夫不等式 772
5.2辛钦大数定律 773
5.3列维林德伯格定理（中心极限定理） 774
第6章 数理统计的基本概念 775
6.1五个名词 775
6.2与？X和S2有关的三条性质 775
6.3与正态总体有关的四条结论 776
第7章 参数估计 778
7.1无偏估计 778
7.2矩估计 779
7.3最大似然估计 782
7.4置信区间 786