第1章 Richardson外推与分裂外推的算法分析 1
1.1 多项式外推法 1
1.1.1 插值多项式与外推 2
1.1.2 多项式外推算法及其推广 4
1.1.3 外推系数与外推算法的稳定性和收敛性 7
1.1.4 后验误差估计 12
1.2 分裂外推法 15
1.2.1 多变量渐近展开 16
1.2.2 分裂外推的递推算法 18
1.2.3 分裂外推的组合系数计算 21
1.2.4 分裂外推算法的稳定性分析 22
1.2.5 分裂外推的后验误差估计 28
1.2.6 分数幂展开式与逐步齐次分裂外推消去法 30
第2章 推广Euler-Maclaurin求和公式与一维超奇积分的外推 37
2.1 经典Euler-Maclaurin求和公式与外推 37
2.1.1 梯形公式的Euler-Maclaurin渐近展开 37
2.1.2 带偏差的梯形公式的Euler-Maclaurin渐近展开 41
2.2 基于Mellin变换的Euler-Maclaurin展开式在奇异与弱奇异积分中的应用 45
2.2.1 Riemann-Zeta函数 46
2.2.2 Mellin变换及其逆变换 47
2.2.3 弱奇异积分的Euler-Maclaurin展开式 48
2.2.4 带参数的弱奇异积分 Eule r-Maclaurin展开式 53
2.2.5 带参数的奇异积分的Euler-Maclaurin展开式 56
2.3 超奇积分的Euler-Maclaurin展开式及其外推 59
2.3.1 超奇积分的Hadamard有限部分及其性质 60
2.3.2 超奇积分的Mellin变换 63
2.3.3 在（0,∞）区间上的超奇积分的Euler-Maclaurin展开式 63
2.3.4 有限区间上的奇异和超奇积分的Euler-Maclaurin展开式 65
2.3.5 有任意代数端点奇性函数的积分及其Euler-Maclaurin展开式 69
2.4 带参数的超奇积分的数值方法及其渐近展开 71
2.4.1 带参数的超奇积分的推广Euler-Maclaurin渐近展开 71
2.4.2 超奇积分的推广Romberg外推 78
2.5 变数替换方法与收敛的加速 84
2.5.1 sinn变换方法 84
2.5.2 双幂变换方法 87
2.5.3 反常积分的变换方法 88
第3章 多维积分的Euler-Maclaurin展开式与分裂外推算法 90
3.1 多维积分的Euler-Maclaurin展开式 91
3.1.1 多维偏矩形积分公式与多参数Euler-Maclaurin展开式 91
3.1.2 分裂外推法及其递推算法 93
3.1.3 变换方法与收敛加速 97
3.2 多维弱奇异积分的数值算法——变量替换法 98
3.2.1 面型弱奇异积分 98
3.2.2 多维弱奇异积分的Duffy转换法 100
3.3 多维弱奇异积分的分裂外推法 102
3.3.1 正方体上的多维弱奇异积分的多变量渐近展开式 102
3.3.2 多维单纯形区域上的积分 106
3.3.3 多维曲边区域上的积分 111
3.3.4 多维弱奇异积分的分裂外推法的数值试验 113
3.4 多维齐次函数的弱奇异积分的外推法 114
3.4.1 多维积分的单参数渐近展开 115
3.4.2 多维齐次函数的定义与求积方法 116
3.4.3 齐次弱奇异函数的近似求积与渐近展开 118
3.4.4 积分变换与收敛加速 122
3.4.5 算例 126
3.5 曲面上积分的高精度算法 130
3.5.1 转换曲面积分到球面积分 130
3.5.2 球面数值积分Atkinson变换 131
3.5.3 光滑积分的算例 138
3.5.4 奇点的处理 139
3.5.5 奇异积分的算例 142
3.5.6 Sidi变换与曲面积分的加速收敛方法 144
3.5.7 Sidi方法的进一步改善 149
3.6 奇点在区域内部的多维弱奇积分的分裂外推 152
3.6.1 多维位势型积分与Duffy变换方法 152
3.6.2 奇点在原点的多维弱奇异积分的多参数渐近展开 154
3.6.3 奇点在任意内点的多维弱奇异积分的多参数渐近展开 156
第4章 基于三角剖分的有限元外推法 159
4.1 变系数椭圆型偏微分方程的线性有限元近似的外推 159
4.1.1 三角形区域上积分的求积方法与误差的渐近展开 160
4.1.2 二阶椭圆型偏微分方程的有限元近似 168
4.1.3 分片一致剖分下的线性有限元近似的误差与渐近展开 170
4.2 二次有限元近似解的渐近展开与外推 179
4.2.1 Poisson方程Dirichlet问题的二次有限元解与外推 179
4.2.2 辅助引理及其证明 180
4.2.3 定理4.2.1 的证明 183
4.2.4 渐近后验估计与算例 189
4.3 一类拟线性椭圆型偏微分方程有限元近似的渐近展开与外推 190
4.3.1 一类拟线性椭圆型偏微分方程有限元近似的L∞范数估计 190
4.3.2 一类拟线性椭圆型偏微分方程的有限元误差的渐近展开与外推 193
第5章 椭圆型偏微分方程的等参多线性的有限元分裂外推算法 195
5.1 二阶椭圆型方程的有限元近似与分裂外推 196
5.1.1 线性椭圆型偏微分方程的Dirichlet问题及其有限元近似 196
5.1.2 线性问题有限元误差的多参数渐近展开 197
5.1.3 全局细网格点的高精度算法 205
5.1.4 算例 208
5.2 特征值问题的有限元近似与分裂外推 212
5.2.1 问题的提出 212
5.2.2 特征值问题的有限元误差的多参数渐近展开 213
5.2.3 算例 216
5.3 拟线性椭圆型偏微分方程的有限元误差的多参数渐近展开 217
5.3.1 一类拟线性椭圆型偏微分方程的有限元方法及其误差的多参数渐近展开 217
5.3.2 算例 221
第6章 基于区域分解的多二次等参有限元分裂外推方法 223
6.1 二阶椭圆型偏微分方程组的多二次等参有限元的分裂外推方法 223
6.1.1 二阶椭圆型方程组及其有限元近似方程 223
6.1.2 Hermite二次内插与相关的求积公式 225
6.1.3 有限元误差的多参数渐近展开 230
6.1.4 算法和算例 234
6.2 拟线性二阶椭圆型偏微分方程的多二次等参有限元的分裂外推方法 237
6.2.1 拟线性二阶椭圆型方程的多二次等参有限元方法 237
6.2.2 d二次等参有限元误差的多参数渐近展开 239
6.2.3 分裂外推与后验估计 246
6.2.4 算例 248
6.3 抛物型偏微分方程的多二次等参有限元的分裂外推方法 250
6.3.1 二阶线性抛物型偏微分方程的多二次等参有限元法 250
6.3.2 半离散等参多二次有限元误差的多参数渐近展开 253
6.3.3 全离散等参多二次有限元误差的多参数渐近展开 259
6.3.4 全离散有限元解的分裂外推法与后验误差估计 260
6.3.5 算例 261
6.4 二阶线性双曲型偏微分方程的多二次等参有限元的分裂外推方法 264
6.4.1 二阶线性双曲型偏微分方程及其离散方法 264
6.4.2 半离散有限元误差的多参数渐近展开 266
6.4.3 全离散有限元误差的多参数渐近展开 269
6.4.4 全局细网格的分裂外推算法与算例 273
第7章 有限差分法的高精度外推与校正法 278
7.1 差分方程近似解的分裂外推算法 278
7.1.1 差分方程的构造与离散极大值原理 278
7.1.2 光滑边界区域上差分近似解的误差的多参数渐近展开 284
7.1.3 长方体上差分近似解的误差的多参数渐近展开 292
7.1.4 算例 298
7.2 两点边值问题的差分方程解的高精度校正法 302
7.2.1 一维问题的高精度差分格式 302
7.2.2 Sturm-Liouville特征值问题的四阶差分法 304
7.2.3 拟线性两点边值问题的四阶差分法 309
7.3 多维椭圆型微分方程的高精度校正法 311
7.3.1 二维Laplace算子的差分格式 311
7.3.2 二维半线性问题的高精度校正法 313
7.3.3 二维特征值问题的高精度校正法 314
7.3.4 二维变系数散度型椭圆型偏微分方程的高精度校正法 318
7.3.5 二维变系数散度型椭圆型偏微分方程的特征值问题的高精度校正法 321
7.3.6 二维拟线性散度型椭圆型偏微分方程的高精度校正法 324
7.3.7 多维散度型椭圆型偏微分方程的高精度校正法 328
7.3.8 算例 331
7.4 L形区域特征值问题的高精度校正法 332
7.4.1 L形区域特征值问题 333
7.4.2 L形区域特征值问题的九点差分格式与特征值估计 335
7.4.3 L形区域特征值问题的校正方法 337
7.5 基于Laplace反演的发展方程的高精度校正方法 338
7.5.1 Laplace变换及其数值反演 338
7.5.2 基于Zakian反演的双曲型方程的高精度校正方法 339
7.5.3 基于Zakian反演的一类Volterra型积微方程的高精度校正方法 341
7.6 有限体积法及其分裂外推 342
7.6.1 数值解二阶椭圆型偏微分方程的有限体积法 342
7.6.2 有限体积法的分裂外推算例 343
第8章 基于多网格的τ外推法 346
8.1 二网格法的τ外推 346
8.1.1 多网格法的基本思想 346
8.1.2 二网格的算法 348
8.1.3 二层网格算法的磨光性质与逼近性质 350
8.1.4 二层网格算法的收敛性证明 351
8.1.5 二网格迭代的磨光性质的证明 352
8.1.6 二网格迭代的逼近性质的证明 354
8.1.7 二网格迭代的τ外推 357
8.2 多层网格法的τ外推 359
8.2.1 三网格的V-循环算法 359
8.2.2 三网格算法的收敛性证明 361
8.2.3 辅助定理及其证明 362
8.2.4 一类新的磨光过程 365
8.2.5 τ外推的高精度证明 367
8.2.6 算例 368
第9章 基于内估计的有限元外推 370
9.1 有限元的内估计 370
9.1.1 有限元的负范数估计 370
9.1.2 有限元子空间的内估计性质 373
9.1.3 有限元误差的局部渐近展开不等式 375
9.2 基于内估计的一类非标准的有限元外推 377
9.2.1 相似子空间的定义 377
9.2.2 常系数二阶椭圆型偏微分方程的局部有限元外推 377
9.2.3 变系数二阶椭圆型偏微分方程的局部有限元外推 383
9.3 局部相似子空间的构造 387
9.3.1 一般描述 387
9.3.2 平面三角形单元的嵌套子空间 388
9.3.3 平面矩形元与三维元的子空间 390
9.4 对特殊边值问题的应用 390
9.4.1 对 Neumann问题的应用 390
9.4.2 对Dirichlet边值问题的应用 391
第10章 稀疏网格法与组合技巧 394
10.1 稀疏网格法 394
10.1.1 有限元空间的多水平分裂 394
10.1.2 二维稀疏网 397
10.1.3 高维稀疏网 400
10.1.4 稀疏网上的有限元方法 402
10.2 组合技巧 403
10.2.1 二维稀疏网组合技巧的分裂形式 404
10.2.2 二维稀疏网组合技巧的一般形式 405
10.2.3 三维组合技巧 407
10.2.4 满网格与稀疏组合网格的数值比较 411
10.2.5 组合技巧、分裂外推和稀疏网方法的数值结果比较 414
10.3 多维中矩形求积公式的组合方法 419
10.3.1 多元乘积型中矩形求积公式 419
10.3.2 组合方法 421
10.3.3 算例 423
评注 425
参考文献 431
后记 439
索引 440
丛书目录 442