第1章 绪论 1
1.1计算机科学计算研究的对象和特点 1
1.2误差分析与数值方法的稳定性 4
1.2.1误差的来源与分类 4
1.2.2误差的基本概念和有效数字 5
1.2.3函数计算的误差估计 7
1.2.4计算机浮点数表示和舍入误差 10
1.2.5数值方法的稳定性和避免误差危害的基本原则 11
1.3向量与矩阵的范数 16
1.3.1向量范数 16
1.3.2范数的等价性 19
1.3.3矩阵范数 20
1.3.4相容矩阵范数的性质 25
习题1 27
第2章 矩阵变换和计算 30
2.1矩阵的三角分解及其应用 30
2.1.1 Gauss消去法与矩阵的LU分解 30
2.1.2 Gauss列主元消去法与带列主元的LU分解 40
2.1.3对称矩阵的Cholesky分解 46
2.1.4三对角矩阵的三角分解 48
2.1.5条件数与方程组的性态 51
2.1.6矩阵的QR分解 55
2.2特殊矩阵的特征系统 59
2.3矩阵的Jordan分解介绍 65
2.4矩阵的奇异值分解 76
2.4.1矩阵奇异值分解的几何意义 76
2.4.2矩阵的奇异值分解 77
2.4.3用矩阵的奇异值分解讨论矩阵的性质 83
习题2 84
第3章 矩阵分析基础 87
3.1矩阵序列与矩阵级数 87
3.1.1矩阵序列的极限 87
3.1.2矩阵级数 90
3.2矩阵幂级数 94
3.3矩阵的微积分 105
3.3.1相对于数量变量的微分和积分 105
3.3.2相对于矩阵变量的微分 108
3.3.3矩阵在微分方程中的应用 109
习题3 112
第4章 逐次逼近法 115
4.1解线性方程组的迭代法 115
4.1.1简单迭代法 116
4.1.2迭代法的收敛性 122
4.2非线性方程的迭代解法 126
4.2.1简单迭代法 127
4.2.2 Newton迭代法及其变形 132
4.2.3多根区间上的逐次逼近法 136
4.3计算矩阵特征问题的幂法 139
4.3.1幂法 139
4.3.2反幂法 144
4.4迭代法的加速 146
4.4.1基本迭代法的加速（SOR） 147
4.4.2 Aitken加速 150
4.5共轭梯度法 153
4.5.1最速下降法 154
4.5.2共轭梯度法（简称CG法） 155
习题4 159
第5章 插值与逼近 166
5.1引言 166
5.1.1插值问题 166
5.1.2插值函数的存在唯一性、插值基函数 167
5.2多项式插值和Hermite插值 168
5.2.1 Lagrange插值公式 169
5.2.2 Newton插值公式 170
5.2.3插值余项 172
5.2.4 Hermite插值 173
5.2.5分段低次插值 176
5.3三次样条插值 177
5.3.1样条函数 177
5.3.2三次样条插值及其收敛性 178
5.4 B-样条函数 183
5.4.1 B-样条函数及其基本性质 183
5.4.2 B-样条函数插值 186
5.5正交函数族在逼近中的应用 189
5.5.1正交多项式简介 189
5.5.2函数的最佳平方逼近 192
5.5.3数据拟合的最小二乘法 193
习题5 196
第6章 插值函数的应用 198
6.1基于插值公式的数值微积分 198
6.1.1数值求积公式及其代数精度 198
6.1.2复化Newton-Cotes公式 201
6.1.3数值微分公式 203
6.2 Gauss型求积公式 206
6.2.1基于Hermite插值的Gauss型求积公式 206
6.2.2常见的Gauss型求积公式与Gauss型求积公式的数值稳定性 208
6.3外推加速原理与Romberg算法 209
6.3.1逐次折半算法 210
6.3.2外推加速公式与Romberg算法 211
习题6 214
第7章 常微分方程的数值解法 217
7.1引言 217
7.1.1一阶常微分方程的初值问题 217
7.1.2线性单步法 218
7.1.3 Taylor展开法 220
7.1.4显式Runge-Kutta法 220
7.2线性多步法 227
7.2.1积分插值法（基于数值积分的解法） 227
7.2.2待定系数法（基于Taylor展开式的求解公式） 230
7.2.3预估—校正算法 235
7.3收敛性、绝对稳定性与绝对稳定区域 236
7.3.1收敛性 236
7.3.2绝对稳定性与绝对稳定区域 236
7.4刚性问题及其求解公式 241
7.4.1刚性问题 243
7.4.2隐式Runge-Kutta法 246
7.4.3求解刚性方程的线性多步法 249
7.5边值问题的数值解法 251
7.5.1打靶法 251
7.5.2差分法 255
7.6暂态历程的精细计算方法 258
7.6.1关于暂态计算的方法 258
7.6.2齐次方程的精细积分 259
7.6.3非齐次方程的精细积分 260
7.6.4数值例题 261
7.6.5精度分析 263
习题7 264
第8章 特殊类型积分的数值方法 267
8.1引言 267
8.2反常积分的数值解法 267
8.2.1无界函数的数值积分 267
8.2.2无穷区间上函数的数值积分 270
8.3振荡函数的数值积分法 272
8.4二重积分的机械求积法 275
8.5重积分Monte Carlo求积法 280
习题8 283
第9章 小波变换 284
9.1从Fourier变换到小波变换 284
9.1.1 Fourier变换 284
9.1.2窗口Fourier变换 286
9.1.3小波变换 287
9.2多分辨率分析与正交小波基的构造 289
9.3 Mallat算法 292
习题9 294
第10章 矩阵特征对的数值解法 295
10.1求特征方程根的方法 295
10.1.1 A为Jacobi矩阵 295
10.1.2 A为对称矩阵 299
10.2分而治之法 302
10.2.1矩阵的分块 302
10.2.2分而治之计算 305
10.3 QR法 308
10.3.1 QR迭代的基本方法 308
10.3.2 Hessenberg矩阵的QR法 309
10.3.3带有原点位移的QR法 312
10.3.4对称QR法 315
10.4 Lanczos算法 316
10.4.1 Lanczos迭代 316
10.4.2 Lanczos迭代的收敛性讨论 319
习题10 323
附录1相关的基础知识 326
一、线性空间 326
1.常用的线性空间 326
2.线性子空间 327
3.线性子空间中元素组的线性相关性 328
4.线性空间的基和维数 328
5.线性空间V中子空间的某些基本性质 328
6.内积的表示及Cauchy-Schwarz不等式 329
7.Cn的正交分解 330
二、某些矩阵及其基本性质 330
1.对角矩阵和三角矩阵 332
2.正交向量与矩阵 333
3.Hermite正定矩阵（半定矩阵） 334
4.初等矩阵 335
5.初等置换矩阵与置换矩阵 337
附录2有关计算理论简介 338
一、关于误差分析 338
1.关于数值问题的性态 338
2.关于算法的稳定性 343
二、关于计算复杂性 344
1.简述“问题复杂度” 344
2.算法有效性 346
附录3数值实验 349
部分习题答案与提示 358
符号说明 376
参考文献 378