第1篇 高等数学 2
1.1函数、极限、连续 2
1.1.1求几类与复合函数有关的函数表示式 2
题型1.1.1.1已知f（x）和？（x），求[？（x）]或？[f（x）] 2
题型1.1.1.2求分段点相同的两分段函数的复合函数 3
题型1.1.1.3已知f（x），f[？（x）]，求？（x） 3
题型1.1.1.4已知？（x）和f[？（x）]，求f（x） 3
1.1.2函数的奇偶性 3
题型1.1.2.1判别（证明）函数的奇偶性 3
题型1.1.2.2奇、偶函数性质的应用 5
1.1.3讨论函数的有界性和周期性 5
题型1.1.3.1判定有限开区间内连续函数的有界性 5
题型1.1.3.2判定无穷区间内连续函数的有界性 6
题型1.1.3.3讨论函数的周期性 6
1.1.4理解极限概念 7
题型1.1.4.1正确理解极限定义中的“ε、N”，“ε、δ”，“ε、X”语言的含义 7
题型1.1.4.2正确区别无穷大量与无界变量 7
1.1.5求未定式极限 8
题型1.1.5.1求0/0型或∞/∞型极限 8
题型1.1.5.2求0·∞型极限 11
题型1.1.5.3求∞-∞型极限 11
题型1.1.5.4求幂指函数（00型，∞0型’l∞型）极限 12
1.1.6求数列极限 14
题型1.1.6.1求数列通项为n项和的极限 14
题型1.1.6.2求由递推关系式给出的数列极限 15
1.1.7求几类特殊子函数形式的函数极限 17
题型1.1.7.1求须先考察左、右极限的函数极限 17
题型1.1.7.2求含根式差的函数极限 19
题型1.1.7.3求含或可化为含指数函数差的函数极限 19
题型1.1.7.4求含lnf（x）的函数极限，其中limx→□f（x）=1 20
题型1.1.7.5求含有界变量因子的函数极限 20
1.1.8求含参变量的函数极限lim？n→∞（n，x） 20
题型1.1.8.1求lim？n→∞（n，x），其中？（n，x）为或可化为F（x）g（n）指数函数型 20
题型1.1.8.2求lim？n→∞（n，x），其中？（n，x）为或可化为g（n）F（x）幂函数型 21
题型1.1.8.3求lim？t→t0（t，x），其中？（t，x）可化为g（n）F（x）型或F（x）g（t）型 21
题型1.1.8.4求lim？n→∞（n，x）或lim？t→t0（t，x），其中？（n，x）=F（n，x）g（x，n）或？（t，x）=F（t，x）g（t，x） 22
1.1.9已知一极限求其待定常数或含未知函数的另一极限 22
题型1.1.9.1由含未知函数的一（些）极限，求含该函数的另一极限 22
题型1.1.9.2已知极限式的极限，求其待定常数 23
1.1.10比较和确定无穷小量的阶 25
题型1.1.10.1比较无穷小量的阶 26
题型1.1.10.2确定无穷小量为几阶无穷小量 26
1.1.11讨论函数的连续性及间断点的类型 27
题型1.1.11.1判别函数的连续性 27
题型1.1.11.2讨论分段函数的连续性 28
题型1.1.11.3判别函数间断点的类型 29
1.1.12连续函数性质的两点应用 30
题型1.1.12.1证明存在ξ∈[a，b]，使含ξ的等式成立 31
题型1.1.12.2证明方程实根的存在性 32
习题1.1 32
1.2一元函数微分学 35
1.2.1导数定义的三点应用 35
题型1.2.1.1判断函数在某点的可导性 35
题型1.2.1.2利用导数定义求某些函数的极限 38
题型1.2.1.3利用导数定义讨论函数性质 39
1.2.2讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性 39
题型1.2.2.1讨论分段函数的可导性 39
题型1.2.2.2讨论分段函数的导函数的连续性 40
题型1.2.2.3讨论一类特殊分段函数在其分段点的连续性、可导性及其导函数的连续性 41
1.2.3讨论含绝对值函数的可导性 41
题型1.2.3.1讨论绝对值函数|f（x）|的可导性 41
题型1.2.3.2讨论函数f（x）=|？（x）|g（x）的可导性 41
1.2.4求一元函数的导数和微分 42
题型1.2.4.1求复合函数的导数 42
题型1.2.4.2求反函数的导数 43
题型1.2.4.3求隐函数的导数 43
题型1.2.4.4求分段函数的一阶、二阶导数 44
题型1.2.4.5求幂指函数及含多个因子连乘积的函数的导数 44
题型1.2.4.6求由参数方程所确定的函数的导数 45
题型1.2.4.7求某些简单函数的高阶导数 46
题型1.2.4.8求一元函数的微分 48
1.2.5利用函数的连续性、可导性确定其待定常数 49
题型1.2.5.1利用函数的连续性确定其待定常数 49
题型1.2.5.2根据函数的可导性确定其待定常数 50
1.2.6利用微分中值定理的条件及其结论解题 50
1.2.7利用罗尔定理证明中值等式 52
题型1.2.7.1证明中值等式f′（ξ））=0或f″（ξ）=0 52
题型1.2.7.2证明存在ξ∈（a，b），使cf′（ξ）=bg′（ξ），其中c，b为常数 53
题型1.2.7.3证明存在ξ∈（a，b），使k（ξ）f′（ξ）+h（ξ）f（ξ）=Q（ξ） 53
题型1.2.7.4证明存在ξ∈（a，b），使f（ξ）g′（ξ）+f′（ξ）g（ξ）=0 54
题型1.2.7.5证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）g（ξ）-f（ξ）g′（ξ）=0（g（ξ）≠0） 54
题型1.2.7.6证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）+g′（ξ）f（ξ）=0 55
题型1.2.7.7证明存在ξ∈（a，b），使nf（ξ）+ξf′（ξ）=0（n为正整数） 55
题型1.2.7.8证明存在ξ∈（a，b），使f（ξ）/（ξ）=f″（ξ）/（ξ），即f（ξ）g″（ξ）-f″（ξ）g（ξ）=0 56
题型1.2.7.9证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）+g′（ξ）[f（ξ）-bξ]=b 56
题型1.2.7.10证明与定积分有关的中值等式 57
1.2.8拉格朗日中值定理的应用 58
题型1.2.8.1证明与函数改变量（增量）有关的中值（不）等式 59
题型1.2.8.2证明函数与其导数的关系 59
题型1.2.8.3求解与函数差值有关的问题 60
题型1.2.8.4证明多个中值所满足的中值等式 60
题型1.2.8.5求中值的极限位置 61
1.2.9利用柯西中值定理证明中值等式 62
题型1.2.9.1证明两函数差值（增量）比的中值等式 62
题型1.2.9.2证明两函数导数比的中值等式 62
1.2.10泰勒定理的两点应用 63
题型1.2.10.1证明与高阶导数有关的中值（不）等式 63
题型1.2.10.2计算按常规方法不好求的未定式极限 65
1.2.11利用导数证明不等式 65
题型1.2.11.1证明函数不等式 66
题型1.2.11.2证明数值不等式 69
1.2.12讨论函数的性态 70
题型1.2.12.1证明函数在区间I上是一个常数 70
题型1.2.12.2证明（判别）函数的单调性 70
题型1.2.12.3讨论函数是否取得极值 71
题型1.2.12.4利用二阶微分方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点 72
题型1.2.12.5求曲线凹凸区间与拐点 72
题型1.2.12.6求函数的单调区间、极值、最值 75
题型1.2.12.7求曲线的渐近线 77
1.2.13利用函数性态讨论方程的根 78
题型1.2.13.1讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数 78
题型1.2.13.2讨论含参数的方程实根的存在性及其个数 78
1.2.14函数性态与函数图形 79
题型1.2.14.1利用函数性态作函数图形 79
题型1.2.14.2利用函数的图形，确定其导函数的图形 81
题型1.2.14.3利用导函数的图形，确定原来函数的性态 81
1.2.15一元函数微分学的应用 82
题型1.2.15.1求平面曲线的切线方程和法线方程 82
题型1.2.15.2求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题 83
题型1.2.15.3求解与两曲线相切的有关问题 84
题型1.2.15.4求解与平面曲线的曲率有关的问题 84
习题1.2 85
1.3一元函数积分学 88
1.3.1原函数与不定积分的关系 88
题型1.3.1.1原函数的概念及其判定 88
题型1.3.1.2求分段函数的原函数或不定积分 89
题型1.3.1.3利用积分运算与微分运算的互逆关系求解与原函数有关的问题 89
1.3.2各类被积函数不定积分的算法 91
题型1.3.2.1求被积函数为f（x）/g（x）的不定积分，其中f（x）=g′（x）或f′（x）=1/g（x） 91
题型1.3.2.2计算被积表达式中出现或可化为f（？（x））和？′（x）dx乘积的不定积分 91
题型1.3.2.3计算被积函数仅为一类函数或为两类不同函数乘积的不定积分 92
题型1.3.2.4计算简单无理函数的不定积分 93
题型1.3.2.5求∫1/（ax+b）kf（1/（ax+b）k-1）dx，其中k≠1为正实数 96
题型1.3.2.6求被积函数的分母为或可化为相差常数的两函数乘积的积分 96
题型1.3.2.7求三角函数的不定积分 97
题型1.3.2.8求被积函数含复合对数函数或复合反三角函数为因子函数的积分 98
题型1.3.2.9有理分式函数∫P（x）Q（x）dx（其中P（x），Q（x）为多项式）的积分算法 98
1.3.3利用定积分性质计算定积分 100
题型1.3.3.1利用其几何意义计算定积分 100
题型1.3.3.2计算对称区间上的定积分 101
题型1.3.3.3计算周期函数的定积分 102
题型1.3.3.4利用定积分的常用计算公式计算定积分 103
题型1.3.3.5计算被积函数含函数导数的积分 104
题型1.3.3.6比较和估计定积分的大小 105
题型1.3.3.7求解含积分值为常数的函数方程 106
题型1.3.3.8计算几类须分子区间积分的定积分 106
题型1.3.3.9计算含参数的定积分 108
题型1.3.3.10计算需换元计算的定积分 108
题型1.3.3.11求由定积分表示的变量极限 109
1.3.4求解与变限积分有关的问题 109
题型1.3.4.1计算含变限积分的极限 109
题型1.3.4.2求变限积分的导数 111
题型1.3.4.3求变限积分的定积分 113
题型1.3.4.4讨论变限积分函数的性态 114
1.3.5证明定积分等式 115
题型1.3.5.1证明定积分的变换公式 115
题型1.3.5.2证明含定积分的中值等式 116
1.3.6证明定积分不等式 117
题型1.3.6.1证明积分限相等时不等式两端成为零的积分不等式 117
题型1.3.6.2证明∫baf（x）dx（或|∫baf（x）dx|）≤k（或≥k），k为常数 118
题型1.3.6.3证明题设中有二阶导数大（或小）于等于零的定积分不等式 118
1.3.7计算反常积分 119
题型1.3.7.1计算无穷区间上的反常积分 119
题型1.3.7.2判别无界函数的反常积分的敛散性，如收敛计算其值 122
题型1.3.7.3判别混合型反常积分的敛散性，如收敛计算其值 123
1.3.8定积分的应用 124
题型1.3.8.1已知曲线方程，求其所围平面图形的面积 124
题型1.3.8.2已知曲线所围平面图形的面积（或其旋转体体积）反求该曲线 125
题型1.3.8.3计算平面曲线的弧长 126
题型1.3.8.4计算平行截面面积已知的立体体积 126
题型1.3.8.5求旋转体体积 127
题型1.3.8.6求旋转体的侧（表）面积 129
题型1.3.8.7求解几何应用与最值问题相结合的应用题 129
题型1.3.8.8计算变力所做的功 130
题型1.3.8.9计算液体的侧压力 131
题型1.3.8.10计算细杆对质点的引力 131
题型1.3.8.11计算函数在区间上的平均值 132
习题1.3 132
1.4向量代数和空间解析几何 135
1.4.1向量代数及其简单应用 135
题型1.4.1.1用坐标表达式进行向量运算 135
题型1.4.1.2计算向量的数量积、向量积、混合积 136
题型1.4.1.3利用向量运算证明（确定）向量关系 137
1.4.2求平面方程 138
题型1.4.2.1求过已知点的平面方程 138
题型1.4.2.2求过已知直线的平面方程 139
题型1.4.2.3根据平面在坐标轴上的相对位置求其方程 140
题型1.4.2.4求过两平面交线的平面方程 140
1.4.3求直线方程 141
题型1.4.3.1求过已知点的直线方程 141
题型1.4.3.2求过已知点且与已知直线相交的直线方程 142
题型1.4.3.3求与两直线相交的直线方程 143
题型1.4.3.4求直线在平面上的投影直线方程 143
1.4.4讨论直线与平面的位置关系 144
题型1.4.4.1讨论平面间的位置关系 144
题型1.4.4.2讨论直线与直线的位置关系 145
题型1.4.4.3讨论直线与平面的位置关系 146
1.4.5求点到平面或到直线的距离 147
题型1.4.5.1求点到平面的距离 147
题型1.4.5.2求点到直线的距离 148
1.4.6求二次曲面方程和空间曲线在坐标面上的投影方程 149
题型1.4.6.1求坐标面上曲线绕坐标轴旋转所得的旋转曲面方程 149
题型1.4.6.2求空间曲线绕坐标轴旋转所得的曲面方程 150
题型1.4.6.3求母线平行于坐标轴的柱面方程 151
题型1.4.6.4求空间曲线在坐标面上的投影方程 152
1.4.7求解空间解析几何与线性代数、微积分相结合的综合题 152
习题1.4 154
1.5多元函数微分法及其应用 156
1.5.1正确理解二元函数连续、可偏导及可微之间的关系 156
题型1.5.1.1依定义判别二元函数在某点是否连续、可偏导及可微 156
题型1.5.1.2判别二元函数连续、可偏导、可微之间的关系 157
1.5.2计算多元函数的偏导数和全微分 158
题型1.5.2.1利用隐函数存在定理确定隐函数 158
题型1.5.2.2求抽象复合函数的偏导数 158
题型1.5.2.3计算隐函数的导数 161
题型1.5.2.4作变量代换将偏导数满足的方程变形 163
题型1.5.2.5求方向导数和梯度 164
题型1.5.2.6求二元函数的全微分 165
1.5.3多元函数微分学的应用 166
题型1.5.3.1已知空间曲线的参数方程，求其切线或法平面方程 166
题型1.5.3.2已知空间曲线为两曲面的交线，求其切线或法平面方程 167
题型1.5.3.3已知空间曲面方程，求其切平面或法线方程 168
题型1.5.3.4求二元函数的极值和最值 169
题型1.5.3.5求二（多）元函数的条件极值 171
习题1.5 172
1.6多元函数积分学 174
1.6.1利用区域的对称性化简多元函数的积分 174
题型1.6.1.1计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分 174
题型1.6.1.2计算积分区域关于直线y=x对称的二重积分 176
题型1.6.1.3计算积分区域具有轮换对称性的三重积分 176
题型1.6.1.4计算积分曲线（面）具有对称性的第一类曲线（面）积分 177
题型1.6.1.5计算平面积分曲线关于y=x对称的第一类曲线积分 178
题型1.6.1.6计算空间积分曲线（曲面）具有轮换对称性的第一类曲线（曲面）积分 178
题型1.6.1.7计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分 178
题型1.6.1.8计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分 180
1.6.2交换积分次序及转换二次积分 180
题型1.6.2.1交换二次积分的积分次序 180
题型1.6.2.2转换二次积分 182
1.6.3计算二重积分 183
题型1.6.3.1计算被积函数分区域给出的二重积分 183
题型1.6.3.2计算圆域或部分圆域上的二重积分 184
1.6.4计算三重积分 185
题型1.6.4.1计算积分区域的边界方程均为一次的三重积分 185
题型1.6.4.2计算积分区域为旋转体的三重积分 186
题型1.6.4.3计算积分区域由球面或球面与锥面所围成的三重积分 186
题型1.6.4.4计算被积函数至少缺两个变量的三重积分 187
题型1.6.4.5计算易求出其截面区域上的二重积分的三重积分 188
1.6.5计算曲线积分 189
题型1.6.5.1计算第一类平面曲线积分 189
题型1.6.5.2求解平面上与路径无关的第二类曲线积分有关问题 190
题型1.6.5.3计算平面上与路径有关的第二类曲线积分 193
题型1.6.5.4计算空间第二类曲线积分 195
1.6.6计算曲面积分 196
题型1.6.6.1计算第一类曲面积分 196
题型1.6.6.2计算第二类曲面积分 199
题型1.6.6.3已知第二类曲面积分的值，求被积式中的未知函数 205
1.6.7多元函数积分学的应用 206
题型1.6.7.1计算空间曲线的弧长 206
题型1.6.7.2求曲面面积 206
题型1.6.7.3计算立体体积 207
题型1.6.7.4求质量、重心及转动惯量 209
题型1.6.7.5计算变力沿曲线所做的功 210
题型1.6.7.6计算物体对质点的引力 212
题型1.6.7.7计算向量场的散度与流量（通量） 213
题型1.6.7.8计算向量场的旋度与环流量 214
习题1.6 215
1.7级数 218
1.7.1判别三类常数项级数的敛散性 218
题型1.7.1.1判别正项级数的敛散性 218
题型1.7.1.2判别交错级数的敛散性 222
题型1.7.1.3判别任意项级数的敛散性 224
1.7.2证明常数项级数的敛散性 226
题型1.7.2.1证明一般项为或可化为相邻两项代数和的级数的敛散性 226
题型1.7.2.2已知一级数收敛，证明相关级数收敛 226
题型1.7.2.3已知一般项有极限，证明该级数的敛散性 227
题型1.7.2.4证明（判别）一般项为（含）定积分的级数的敛散性 227
题型1.7.2.5证明一般项用递推关系式给出的级数的敛散性 228
题型1.7.2.6已知函数高阶可导，证明由该函数值组成的级数的敛散性 228
1.7.3幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法 229
1.7.4求幂级数与数项级数的和 231
题型1.7.4.1求∞∑n=1P（n）xn的和函数，P（n）为n的多项式 231
题型1.7.4.2求∞∑n=01/Q（n）xn的和函数，Q（n）n的多项式 232
题型1.7.4.3求含阶乘因子的幂级数的和函数 234
题型1.7.4.4求数项级数的和 236
1.7.5将简单函数间接展开成幂级数 239
题型1.7.5.1求反三角函数的幂级数展开式 239
题型1.7.5.2将对数函数展成幂级数 239
题型1.7.5.3将有理分式函数展成幂级数 240
题型1.7.5.4将三角函数展成幂级数 240
题型1.7.5.5利用幂级数展开式求函数的高阶导数 240
1.7.6傅里叶级数 241
题型1.7.6.1将周期函数展为傅里叶级数 241
题型1.7.6.2求傅里叶系数 245
题型1.7.6.3求傅里叶级数的和函数在某点的值 245
习题1.7 246
1.8常微分方程 248
1.8.1求解一阶线性微分方程 248
题型1.8.1.1求解可分离变量的微分方程 248
题型1.8.1.2求解齐次方程 249
题型1.8.1.3求解一阶线性方程 249
题型1.8.1.4求解几类可化为一阶线性方程的方程 250
题型1.8.1.5求解方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0 252
题型1.8.1.6求解由变量的增量关系给出的一阶方程 254
题型1.8.1.7求满足某种性质的一阶微分方程的特解 254
1.8.2求解线性微分方程 255
题型1.8.2.1利用线性微分方程解的结构和性质求解有关问题 256
题型1.8.2.2求解可降阶的二阶微分方程 256
题型1.8.2.3求解高阶常系数齐次线性方程 257
题型1.8.2.4求解二阶常系数非齐次线性方程 259
题型1.8.2.5求解欧拉方程 262
题型1.8.2.6求解含变限积分的方程 263
题型1.8.2.7求解可化为一阶线性微分的函数方程 263
1.8.3已知特解反求其常系数线性方程 264
题型1.8.3.1已知特解反求其齐次方程 264
题型1.8.3.2已知特解反求其非齐次方程 264
1.8.4用微分方程求解几何和物理中的简单应用题 265
习题1.8 269
第2篇 线性代数 272
2.1计算行列式 272
2.1.1计算数字型行列式 272
题型2.1.1.1计算非零元素主要在一条或两条对角线上的行列式 272
题型2.1.1.2计算非零元素在三条线上的行列式 273
题型2.1.1.3计算行（列）和相等的行列式 274
题型2.1.1.4计算范德蒙行列式 275
题型2.1.1.5求代数余子式线性组合的值 276
题型2.1.1.6计算n阶可逆矩阵的所有代数余子式的和 277
2.1.2计算抽象矩阵的行列式 277
题型2.1.2.1求由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值 278
题型2.1.2.2计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 278
题型2.1.2.3计算含零子块的四分块矩阵的行列式 279
题型2.1.2.4证明方阵的行列式等于零，或不等于零 279
2.1.3克莱姆法则的应用 280
习题2.1 282
2.2矩阵 283
2.2.1证明矩阵的可逆性 283
题型2.2.1.1已知一矩阵等式，证明有关矩阵可逆，并求其逆矩阵 283
题型2.2.1.2证明矩阵A可逆，且A-1=B 284
题型2.2.1.3证明和（差）矩阵可逆 285
题型2.2.1.4求矩阵的逆矩阵，该矩阵含一（些）矩阵的逆矩阵 285
题型2.2.1.5证明方阵为不可逆矩阵 286
2.2.2矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法 286
2.2.3求解与伴随矩阵有关的问题 287
题型2.2.3.1计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 288
题型2.2.3.2求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵 289
题型2.2.3.3求与伴随矩阵有关的矩阵的秩 289
题型2.2.3.4求伴随矩阵 289
2.2.4计算n阶矩阵的高次幂 289
题型2.2.4.1计算能分解为一列向量与一行向量相乘的矩阵的高次幂 289
题型2.2.4.2计算能相似对角化的矩阵的高次幂 290
题型2.2.4.3计算能分解为两可交换矩阵之和的矩阵的高次幂 291
题型2.2.4.4计算其平方等于原矩阵或单位矩阵倍数的矩阵高次幂 292
2.2.5求矩阵的秩 293
题型2.2.5.1求元素具体给定的矩阵的秩 293
题型2.2.5.2求含抽象矩阵或含待定常数的矩阵的秩 293
题型2.2.5.3已知矩阵的秩，求其待定常数 296
2.2.6分块矩阵乘法运算的应用举例 296
2.2.7求解矩阵方程 297
题型2.2.7.1求解含单位矩阵加项的矩阵方程 298
题型2.2.7.2求解只含一个未知矩阵的矩阵方程 299
题型2.2.7.3求解含多个未知矩阵的矩阵方程 300
题型2.2.7.4求与已知矩阵可交换的所有矩阵 303
题型2.2.7.5已知一矩阵方程，求方程中某矩阵的行列式 303
2.2.8初等变换与初等矩阵的关系的应用 303
题型2.2.8.1用初等矩阵表示相应的初等变换 303
题型2.2.8.2利用初等矩阵的逆矩阵的性质计算矩阵 304
习题2.2 305
2.3向量 307
2.3.1判别向量组线性相关与线性无关 307
题型2.3.1.1用线性相关性定义做选择题、填空题 307
题型2.3.1.2判别分量已知的向量组的线性相关性 308
题型2.3.1.3证明几类向量组的线性相关性 309
题型2.3.1.4已知向量组的线性相关性，求其待定常数 313
2.3.2判定向量能否由向量组线性表示 314
题型2.3.2.1判定分量已知的向量能否由向量组线性表示 314
题型2.3.2.2判断一抽象向量能否由向量组线性表示 315
题型2.3.2.3判别一向量组能否由另一向量组线性表示 316
2.3.3两向量组等价的判别方法及常用证法 316
2.3.4向量组的秩与极大线性无关组 319
题型2.3.4.1求分量给出的向量组的秩及其极大线性无关组 319
题型2.3.4.2将向量用极大线性无关组线性表示 320
题型2.3.4.3证明抽象向量组的秩有关问题 321
题型2.3.4.4证某向量组为一极大无关组 322
2.3.5向量空间 323
题型2.3.5.1求解空间的基、标准正交基（规范正交基） 323
题型2.3.5.2求过渡矩阵 325
题型2.3.5.3求向量在某组基下的坐标 326
习题2.3 328
2.4线性方程组 329
2.4.1判定线性方程组解的情况 329
题型2.4.1.1判定齐次线性方程组解的情况 329
题型2.4.1.2判定非齐次线性方程组解的情况 331
2.4.2由其解反求方程组或其参数 332
题型2.4.2.1已知AX=0的解的情况，反求A中参数 333
题型2.4.2.2已知AX=b的解的情况，反求方程组中参数 333
题型2.4.2.3已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵 334
2.4.3证明一组向量为基础解系 335
2.4.4基础解系和特解的简便求法 336
2.4.5求解含参数的线性方程组 337
题型2.4.5.1求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组 338
题型2.4.5.2求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组 338
题型2.4.5.3求解参数仅出现在常数项的线性方程组 339
题型2.4.5.4求含参数的方程组满足一定条件的通解 340
2.4.6求抽象线性方程组的通解 340
题型2.4.6.1 A没有具体给出，求AX=0的通解 340
题型2.4.6.2已知AX=b的特解，求其通解 341
题型2.4.6.3利用线性方程组的向量形式求（证明）其解 343
2.4.7求两线性方程组的非零公共解 344
题型2.4.7.1求两齐次线性方程组的非零公共解 344
题型2.4.7.2证明两齐次线性方程组有非零公共解 346
题型2.4.7.3讨论两方程组同解的有关问题 346
习题2.4 348
2.5矩阵的特征值、特征向量 351
2.5.1求矩阵的特征值、特征向量 351
题型2.5.1.1求元素给出的矩阵的特征值、特征向量 351
题型2.5.1.2证明（判别）抽象矩阵的特征值、特征向量 352
2.5.2由特征值和（或）特征向量反求其矩阵 354
题型2.5.2.1由特征值和（或）特征向量反求矩阵的待定常数 354
题型2.5.2.2已知特征值、特征向量，反求其矩阵 355
题型2.5.2.3计算Anβ，其中β为列向量，A为方阵 357
2.5.3求相关联矩阵的特征值、特征向量 357
2.5.4判别同阶方阵是否相似 359
题型2.5.4.1判别或证明方阵是否可对角化 359
题型2.5.4.2判别两同阶方阵是否相似 361
2.5.5相似矩阵性质的简单应用 362
2.5.6与两矩阵相似有关的计算 362
题型2.5.6.1矩阵A可相似对角化，求A中待定常数及可逆矩阵P，使P-1 AP=diag（λ1，λ2，…，λn），其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值 362
题型2.5.6.2 A为实对称矩阵，求A中待定常数及正交矩阵Q，使Q-1 AQ=QTAQ=diag（λ1，λ2，…，λn），其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值 363
题型2.5.6.3 A为实对称矩阵，求与其相似的对角矩阵A 364
题型2.5.6.4已知矩阵A和可逆矩阵P满足一等式，求矩阵B，使P-1AP=B 365
习题2.5 365
2.6二次型 367
2.6.1化二次型为标准形 367
题型2.6.1.1化二次型为标准形 367
题型2.6.1.2已知二次型的标准形，确定该二次型 374
2.6.2判别或证明实二次型（实对称矩阵）的正定性 375
题型2.6.2.1判别或证明具体二次型（或实对称矩阵）的正定性 376
题型2.6.2.2判别或证明抽象的二次型（或实对称矩阵）的正定性 378
题型2.6.2.3确定参数的取值范围使二次型或其矩阵正定 379
题型2.6.2.4证明与正定矩阵相关联的矩阵的正定性 380
2.6.3合同矩阵 381
题型2.6.3.1判别两实对称矩阵合同 381
题型2.6.3.2讨论矩阵等价、相似及合同的关系 382
习题2.6 383
第3篇 概率论与数理统计 386
3.1随机事件和概率 386
3.1.1随机事件间的关系及运算 386
题型3.1.1.1描绘随机试验的样本空间 386
题型3.1.1.2用式子表示事件关系及其运算 386
题型3.1.1.3利用事件运算的性质或图示法简化事件算式 387
题型3.1.1.4求满足一定条件的事件关系 387
3.1.2直接计算随机事件的概率 387
题型3.1.2.1计算古典型概率 387
题型3.1.2.2计算几何型概率 389
题型3.1.2.3计算伯努利概型中事件的概率 390
3.1.3间接计算随机事件的概率 391
题型3.1.3.1计算和、差、积事件的概率 391
题型3.1.3.2求与包含关系有关的事件的概率 393
题型3.1.3.3计算与互斥事件有关的事件的概率 394
题型3.1.3.4求与条件概率有关的事件的概率 394
题型3.1.3.5求与他事件有关的单个事件的概率 394
题型3.1.3.6判别或证明事件概率不等式 394
3.1.4几个计算概率公式的实际应用 395
题型3.1.4.1用加法公式求解实际应用题 395
题型3.1.4.2用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题 395
题型3.1.4.3用全概公式和逆概（贝叶斯）公式求解实际应用题 396
题型3.1.4.4利用抽签原理计算事件概率 399
3.1.5判别事件的独立性 400
题型3.1.5.1判别（证明）两事件相互独立 400
题型3.1.5.2判别（证明）n（n＞2）个事件相互独立 401
习题3.1 402
3.2一维随机变量及其分布 405
3.2.1分布列、概率密度及分布函数性质的应用 405
题型3.2.1.1判别分布列、概率密度及分布函数 406
题型3.2.1.2证明某实函数为某随机变量的分布函数 407
题型3.2.1.3利用分布的性质，确定待定常数或所满足的条件 407
题型3.2.1.4求随机变量落在某点或某区间上的概率 408
3.2.2求分布列（概率分布）、概率密度及分布函数 410
题型3.2.2.1求概率分布（分布律）及其分布函数 410
题型3.2.2.2求连续型随机变量的分布函数或其取值 411
题型3.2.2.3求概率密度 413
3.2.3利用常见分布计算有关事件的概率 413
题型3.2.3.1利用二项分布计算伯努利概型中事件的概率 413
题型3.2.3.2利用超几何分布计算事件的概率 416
题型3.2.3.3利用几何分布计算事件的概率 416
题型3.2.3.4利用泊松分布计算事件的概率 417
题型3.2.3.5利用均匀分布计算事件的概率 418
题型3.2.3.6利用指数分布计算事件的概率 418
题型3.2.3.7利用正态分布计算事件的概率 420
题型3.2.3.8利用相关分布与二项分布相结合计算事件的概率 423
3.2.4随机变量函数的分布 423
题型3.2.4.1已知一离散型随机变量的分布，求其函数（另一离散型随机变量）的分布 423
题型3.2.4.2已知一连续型随机变量的分布，求其函数（另一连续型随机变量）的分布 425
题型3.2.4.3已知一连续型随机变量的分布，求其函数（离散型随机变量）的分布 428
题型3.2.4.4讨论随机变量函数分布的性质 428
习题3.2 429
3.3二维随机变量的联合概率分布 432
3.3.1求二维随机变量的分布 432
题型3.3.1.1求二维离散型随机变量的联合分布律 432
题型3.3.1.2求二维随机变量的边缘分布 435
题型3.3.1.3由联合分布、边缘分布求条件分布 439
题型3.3.1.4由条件分布反求联合分布、边缘分布 442
题型3.3.1.5已知分区域定义的联合密度，求其分布函数 443
3.3.2随机变量的独立性 444
题型3.3.2.1判别两随机变量的独立性 444
题型3.3.2.2利用独立性确定联合分布中的待定常数 447
3.3.3计算二维随机变量取值的概率 448
题型3.3.3.1计算两离散型随机变量运算后取值的概率 448
题型3.3.3.2求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率 449
题型3.3.3.3求与max（X，Y）或（和）min（X，Y）有关的概率 450
题型3.3.3.4求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率 451
3.3.4求二维随机变量函数的分布 451
题型3.3.4.1已知（X，Y）的联合分布律，求Z=g（X，Y）的分布律 451
题型3.3.4.2求两随机变量之和的分布 452
题型3.3.4.3已知X，Y的分布，求max（X，Y）或（和）min（X，Y）的分布 456
习题3.3 458
3.4随机变量的数字特征 461
3.4.1求一维随机变量的数字特征 461
题型3.4.1.1求随机变量的数学期望与方差 461
题型3.4.1.2求随机变量函数的数学期望与方差 465
题型3.4.1.3计算随机变量的矩 467
3.4.2求二维随机变量的数字特征 467
题型3.4.2.1求（X，Y）的函数g（X，Y）的数学期望和方差 467
题型3.4.2.2计算协方差和相关系数 470
3.4.3计算两类分布的数字特征 476
题型3.4.3.1计算正态分布的数字特征 476
题型3.4.3.2计算Z=max（X，Y）或（和）W=min（X，Y）的数字特征 477
3.4.4讨论随机变量相关性与独立性的关系 480
题型3.4.4.1确定两随机变量相关与不相关 480
题型3.4.4.2讨论相关性与独立性的关系 481
3.4.5已知数字特征，求分布中的待定常数 482
3.4.6求解两类综合应用题 483
题型3.4.6.1求解与数字特征有关的实际应用题 483
题型3.4.6.2求解概率论与其他数学分支的综合应用题 485
习题3.4 486
3.5大数定律和中心极限定理 489
3.5.1用切比雪夫不等式估计事件的概率 489
3.5.2大数定律成立的条件和结论 491
题型3.5.2.1利用三个大数定律成立的条件解题 493
题型3.5.2.2求随机变量序列依概率的收敛值 494
3.5.3两个中心极限定理的简单应用 496
题型3.5.3.1利用棣莫弗-拉普拉斯定理近似计算事件概率 496
题型3.5.3.2已知随机变量取值的概率，估计取值范围 497
题型3.5.3.3应用列维-林德伯格中心极限定理的条件、结论解题 498
题型3.5.3.4近似计算n个随机变量之和取值的概率 499
题型3.5.3.5已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n 499
习题3.5 500
3.6数理统计初步 502
3.6.1求解与统计量分布有关的问题 502
题型3.6.1.1求解与统计量分布有关的基本概念问题 502
题型3.6.1.2求统计量的分布及其分布参数 504
题型3.6.1.3求统计量取值的概率 509
题型3.6.1.4求统计量的数字特征 511
题型3.6.1.5求经验分布函数 512
3.6.2参数估计 513
题型3.6.2.1求总体分布中未知参数的矩估计量（值） 513
题型3.6.2.2求未知参数的极（最）大似然估计量（值） 516
题型3.6.2.3判别估计量的无偏性、有效性和一致性（相合性） 519
题型3.6.2.4求正态总体参数的置信区间及其有关参数 523
3.6.3假设检验 528
题型3.6.3.1计算简单情形下的两类错误概率 529
题型3.6.3.2对单个正态总体参数进行假设检验 529
题型3.6.3.3对两个正态总体参数进行假设检验 531
题型3.6.3.4用检验方法及其结论做填空题与选择题 532
习题3.6 533
习题答案与提示 536