第0章 引言 1
0.1 绪论 1
0.1.1 数值分析 1
0.1.2 泛函分析 3
0.1.3 本课程的内容及要求 3
0.1.4 算法的实现 3
0.2 误差的来源、基本概念及分析方法与原则 4
0.2.1 误差的来源 4
0.2.2 误差的基本概念 4
0.2.3 减少误差的若干原则 7
0.3 距离空间 13
0.3.1 距离和距离空间 13
0.3.2 内点、开集与闭集 14
0.3.3 点列的收敛性 15
0.4 赋范线性空间 15
0.4.1 线性空间 15
0.4.2 赋范线性空间 16
0.4.3 赋范线性空间中的收敛 17
0.4.4 向量和矩阵的范数 17
0.4.5 不动点定理 21
0.5 内积空间 23
0.5.1 内积空间 23
0.5.2 正交分解 24
0.5.3 Hilbert空间中的Fourier分析 25
习题0 26
第1章 插值法 28
1.1 引言 28
1.2 拉格朗日插值法 29
1.2.1 线性插值 29
1.2.2 二次插值 30
1.2.3 n次插值 31
1.2.4 误差分析 32
1.3 牛顿插值法 34
1.3.1 差商及其性质 34
1.3.2 牛顿插值公式 35
1.3.3 插值余项 36
1.4 埃尔米特插值法 38
1.4.1 埃尔米特插值 38
1.4.2 埃尔米特插值的唯一性及余项 39
1.5 分段低次插值法与样条插值法 41
1.5.1 分段线性插值 42
1.5.2 分段三次埃尔米特插值 43
1.5.3 样条插值 45
1.6 二元函数插值方法 50
1.6.1 双线性插值 50
1.6.2 双二次插值 52
1.6.3 双三次插值 53
1.6.4 双三次埃尔米特插值 54
习题1 56
第2章 最佳逼近和最小二乘法 58
2.1 内积空间中的最佳逼近 58
2.2 L2［a,b］中的最佳平方逼近 60
2.3 勒让德多项式和切比雪夫多项式 63
2.3.1 勒让德多项式 63
2.3.2 切比雪夫多项式 66
2.4 曲线拟合的最小二乘法 68
2.5 C［a,b］中最佳一致逼近多项式 73
2.5.1 最佳一致逼近多项式 73
2.5.2 最佳一次逼近多项式 74
2.5.3 多项式的最佳低次逼近 76
2.6 曲面逼近 76
2.6.1 局部三次曲面逼近 77
2.6.2 样条曲面逼近 79
习题2 81
第3章 数值积分与数值微分 83
3.1 引言 83
3.1.1 数值求积的基本思想 83
3.1.2 代数精度的概念 84
3.1.3 插值型求积公式 85
3.1.4 求积公式的收敛性与稳定性 86
3.2 牛顿－柯特斯公式及余项估计 87
3.2.1 柯特斯系数 87
3.2.2 偶数阶求积公式的代数精度 89
3.2.3 几种低阶求积公式的余项 90
3.3 复化求积法 91
3.3.1 复化梯形公式 91
3.3.2 复化辛普森公式 92
3.4 龙贝格求积公式 94
3.4.1 梯形法的递推化 94
3.4.2 龙贝格算法 96
3.5 高斯求积公式 97
3.6 数值微分 101
3.7 数字图像的导数与梯度 104
3.7.1 二维数据的一阶导数 104
3.7.2 二维数据的二阶导数 105
习题3 106
第4章 解线性方程组的方法 108
4.1 方程组的性态及条件数 108
4.2 高斯消去法和列主元消去法 111
4.2.1 高斯消去法 112
4.2.2 列主元消去法 115
4.2.3 高斯－若当消去法 118
4.3 矩阵三角分解法 120
4.3.1 矩阵的三角分解 120
4.3.2 平方根法 124
4.3.3 追赶法 128
4.4 雅可比方法和高斯－赛德尔方法 130
4.4.1 雅可比迭代法 130
4.4.2 高斯－赛德尔迭代法 132
4.4.3 收敛性 133
4.5 超松弛迭代法 140
4.6 广义逆 145
习题4 146
第5章 非线性方程（组）求根 149
5.1 根的搜索 149
5.2 迭代法 151
5.2.1 迭代过程的收敛性 151
5.2.2 迭代公式的加速 155
5.3 方程求根的牛顿法 158
5.3.1 牛顿迭代公式及其收敛性 158
5.3.2 牛顿下山法 162
5.3.3 简化牛顿法、弦截法与抛物线法 163
5.4 代数方程求根 167
5.4.1 多项式求值的秦九韶算法 167
5.4.2 代数方程的牛顿法 168
5.4.3 代数方程的劈因子法 168
5.5 非线性方程组的迭代法 171
5.5.1 一般迭代法及其收敛条件 171
5.5.2 牛顿迭代法 172
习题5 175
第6章 矩阵的特征值与特征向量的计算 178
6.1 引言 178
6.2 幂法及反幂法 180
6.2.1 幂法 180
6.2.2 加速方法 183
6.2.3 反幂法 186
6.3 雅可比方法 189
6.3.1 引言 189
6.3.2 雅可比方法 190
6.3.3 雅可比过关法 195
6.4 豪斯荷尔德变换 196
6.4.1 引言 196
6.4.2 用正交相似变换约化矩阵 199
6.5 QR算法 204
6.5.1 引言 204
6.5.2 矩阵的QR分解 204
6.5.3 QR算法 207
6.5.4 带原点位移的QR方法 210
6.5.5 上Hessenberg矩阵的特征值计算 211
6.6 计算实对称矩阵部分特征值的二分法 215
6.7 奇异值分解 217
习题6 219
参考文献 222