14非完整系统 309
14.1基本概念 309
14.1.1约束对虚位移的限制 309
14.1.2微分运算d与变分运算δ的交换关系 310
14.1.3 d， δ交换关系，满足约束的可能轨道与Четаев条件三者的协调性 312
14.2运动微分方程 313
14.2.1 d’Alembert-Lagrange原理的各种表达 313
14.2.2带乘子的方程 313
14.2.3 Чаплыгин方程 314
14.2.4 Boltzmann-Hamel方程 316
14.2.5 Appell方程 318
14.2.6关于Lindelof方程 319
14.3积分方法 322
14.3.1非完整系统的循环积分及其降阶法 322
14.3.2非完整系统的能量积分及其降阶法 324
14.3.3 Jacobi方法 329
14.4专门问题 332
14.4.1非完整系统平衡状态附近的小振动 332
14.4.2相对运动动力学 336
14.4.3打击运动 339
14.4.4变质量系统 343
思考题 345
习题 346
参考文献 346
15 Birkhoff系统 348
15.1 Pfaff-Birkhoff原理 348
15.1.1 Birkhoff的贡献 348
15.1.2 Santilli的总结 349
15.1.3 Pfaff-Birkhoff原理 349
15.1.4 Pfaff-Birkhoff原理的推广 350
15.2 Birkhoff方程 350
15.2.1 Birkhoff方程的导出 350
15.2.2 Birkhoff方程的形式 352
15.2.3 Birkhoff方程的性质 353
15.2.4广义Birkhoff方程 355
15.3 Birkhoff函数的构造 356
15.3.1 Santilli第一方法 356
15.3.2 Santilli第二方法 356
15.3.3 Hojman方法 357
15.3.4自治系统Birkhoff函数的构造 357
15.3.5构造Birkhoff表示的困难 359
15.4 Birkhoff方程的积分 362
15.4.1经典积分及降阶法 362
15.4.2 Poisson方法 367
15.4.3变换理论 370
15.4.4积分不变量 373
15.5专门问题 374
15.5.1完整系统的Birkhoff动力学 374
15.5.2非完整系统的Birkhoff动力学 376
15.5.3约束Birkhoff系统 379
15.5.4平衡稳定性 382
思考题 385
习题 385
参考文献 387
16场积分方法 388
16.1求解常微分方程的场方法 388
16.1.1场方法 388
16.1.2应用 390
16.2完整系统的场方法 391
16.2.1运动微分方程 391
16.2.2场方法的应用 391
16.3非完整系统的场方法 393
16.3.1运动微分方程 393
16.3.2应用举例 395
16.4 Birkhoff系统的场方法 400
16.4.1运动微分方程 400
16.4.2应用举例 400
思考题 403
习题 403
参考文献 404
17势积分方法 405
17.1势积分方法介绍 405
17.1.1势积分方法 405
17.1.2势积分方法的简单应用 407
17.2完整系统的势积分方法 408
17.2.1系统的运动微分方程 408
17.2.2应用举例 408
17.3非完整系统的势积分方法 412
17.3.1系统的运动微分方程 412
17.3.2应用举例 413
17.4 Birkhoff系统的势积分方法 415
17.4.1系统的运动微分方程 415
17.4.2应用举例 416
思考题 418
习题 418
参考文献 419
18 Jacobi最终乘子法 420
18.1一般微分方程组的Jacobi最终乘子 420
18.1.1最终乘子 420
18.1.2由两个乘子导出积分 421
18.1.3对Lagrange力学逆问题的应用 421
18.1.4应用举例 422
18.2 Hamilton系统的最终乘子 423
18.2.1最终乘子对Hamilton系统的应用 423
18.2.2二自由度情形 424
18.2.3应用举例 426
18.3广义Hamilton系统的最终乘子 427
18.3.1系统的最终乘子 427
18.3.2应用举例 428
18.4 Birkhoff系统的最终乘子 431
18.4.1系统的最终乘子 431
18.4.2广义Birkhoff方程的最终乘子 433
18.4.3应用举例 434
思考题 438
习题 438
参考文献 439
19 Noether对称性方法 440
19.1 Lagrange系统 440
19.1.1运动微分方程 440
19.1.2 Noether对称性 441
19.1.3 Noether守恒量 443
19.1.4应用举例 443
19.2 Hamilton系统 445
19.2.1运动微分方程 446
19.2.2 Noether对称性 446
19.2.3 Noether守恒量 448
19.2.4应用举例 449
19.3一般完整系统 450
19.3.1运动微分方程 450
19.3.2 Noether对称性 450
19.3.3 Noether守恒量 451
19.3.4应用举例 451
19.4 ЧeTaeв型非完整系统 452
19.4.1运动微分方程 452
19.4.2 Noether对称性 453
19.4.3 Noether守恒量 454
19.4.4应用举例 454
19.5 Birkhoff系统 457
19.5.1运动微分方程 457
19.5.2 Noether对称性 458
19.5.3 Noether守恒量 460
19.5.4应用举例 460
19.6弱Noether对称性与守恒量 462
19.6.1 Lagrange系统 462
19.6.2 Hamilton系统 464
19.6.3一般完整系统 465
19.6.4 Четаев型非完整系统 466
19.6.5 Birkhoff系统 467
思考题 468
习题 469
参考文献 470
20 Lie对称性方法 472
20.1 Lagrange系统 472
20.1.1运动微分方程 472
20.1.2 Lie对称性 472
20.1.3 Hojman型守恒量 473
20.1.4 Noether守恒量 474
20.1.5应用举例 475
20.2 Hamilton系统 476
20.2.1运动微分方程 476
20.2.2 Lie对称性 477
20.2.3 Hojman型守恒量 478
20.2.4 Noether守恒量 478
20.2.5应用举例 478
20.3一般完整系统 480
20.3.1运动微分方程 480
20.3.2 Lie对称性 480
20.3.3 Hojman型守恒量 481
20.3.4 Noether守恒量 481
20.3.5应用举例 481
20.4 ЧeTaeв型非完整系统 484
20.4.1运动微分方程 484
20.4.2 Lie对称性 485
20.4.3 Hojman型守恒量 485
20.4.4 Noether守恒量 486
20.4.5应用举例 487
20.5 Birkhoff系统 488
20.5.1运动微分方程 488
20.5.2 Lie对称性 489
20.5.3 Hojman型守恒量 490
20.5.4 Noether守恒量 491
20.5.5应用举例 492
20.6广义Hamilton系统 493
20.6.1运动微分方程 493
20.6.2 Lie对称性 494
20.6.3 Hojman型守恒量 494
20.6.4 Noether守恒量 495
20.6.5应用举例 496
思考题 497
习题 497
参考文献 498
21形式不变性方法 500
21.1 Lagrange系统 500
21.1.1运动微分方程 500
21.1.2形式不变性 500
21.1.3新型守恒量 501
21.1.4 Noether守恒量 502
21.1.5 Hojman型守恒量 502
21.1.6应用举例 503
21.2 Hamilton系统 505
21.2.1运动微分方程 505
21.2.2形式不变性 505
21.2.3新型守恒量 506
21.2.4 Noether守恒量 506
21.2.5 Hojman型守恒量 507
21.2.6应用举例 507
21.3一般完整系统 509
21.3.1运动微分方程 509
21.3.2形式不变性 510
21.3.3新型守恒量 510
21.3.4 Noether守恒量 511
21.3.5 Hojman型守恒量 511
21.3.6应用举例 512
21.4 Четаев型非完整系统 514
21.4.1运动微分方程 514
21.4.2形式不变性 515
21.4.3新型守恒量 516
21.4.4 Noether守恒量 516
21.4.5 Hojman型守恒量 517
21.4.6应用举例 517
21.5 Birkhoff系统 521
21.5.1运动微分方程 521
21.5.2形式不变性 522
21.5.3新型守恒量 522
21.5.4 Noether守恒量 523
21.5.5 Hojman型守恒量 523
21.5.6应用举例 524
21.6广义Hamilton系统 526
21.6.1运动微分方程 526
21.6.2形式不变性 526
21.6.3新型守恒量 527
21.6.4 Hojman型守恒量 527
21.6.5应用举例 528
思考题 530
习题 530
参考文献 531
22 Lagrange对称性方法与Birkhoff对称性方法 533
22.1 Lagrange系统 533
22.1.1运动微分方程 533
22.1.2 Lagrange对称性的定义和判据 534
22.1.3 Lagrange对称性导致的守恒量 534
22.1.4应用举例 537
22.2一般完整系统 539
22.2.1运动微分方程 539
22.2.2 Lagrange对称性的定义和判据 539
22.2.3 Lagrange对称性导致的守恒量 540
22.2.4应用举例 540
22.3有多余坐标完整系统 541
22.3.1运动微分方程 541
22.3.2 Lagrange对称性的定义和判据 542
22.3.3 Lagrange对称性导致的守恒量 543
22.3.4应用举例 543
22.4相对运动动力学系统 544
22.4.1运动微分方程 544
22.4.2 Lagrange对称性的定义和判据 544
22.4.3 Lagrange对称性导致的守恒量 545
22.4.4应用举例 545
22.5变质量完整系统 546
22.5.1运动微分方程 546
22.5.2 Lagrange对称性的定义和判据 547
22.5.3 Lagrange对称性导致的守恒量 547
22.5.4应用举例 548
22.6非完整系统 549
22.6.1运动微分方程 549
22.6.2 Lagrange对称性的定义和判据 549
22.6.3 Lagrange对称性导致的守恒量 550
22.6.4应用举例 551
22.7 Birkhoff系统的Birkhoff对称性 553
22.7.1运动微分方程 553
22.7.2 Birkhoff对称性的定义和判据 554
22.7.3 Birkhoff对称性导致的守恒量 554
22.7.4应用举例 558
思考题 561
习题 562
参考文献 562
23力学系统与梯度系统 564
23.1梯度系统与斜梯度系统 564
23.1.1微分方程 564
23.1.2梯度系统的性质 565
23.1.3斜梯度系统的性质 565
23.2 Lagrange系统与梯度系统 565
23.2.1运动微分方程 565
23.2.2化成梯度系统 566
23.2.3稳定性 566
23.2.4化成斜梯度系统 566
23.2.5应用举例 567
23.3 Hamilton系统与梯度系统 568
23.3.1运动微分方程 568
23.3.2化成梯度系统 568
23.3.3稳定性 568
23.3.4化成斜梯度系统 569
23.3.5应用举例 569
23.4一般完整系统与梯度系统 569
23.4.1运动微分方程 570
23.4.2化成梯度系统 570
23.4.3稳定性 570
23.4.4化成斜梯度系统 571
23.4.5应用举例 571
23.5 Birkhoff系统与梯度系统 573
23.5.1运动微分方程 573
23.5.2化成梯度系统 574
23.5.3稳定性 574
23.5.4化成斜梯度系统 574
23.5.5应用举例 575
23.6广义Hamilton系统与梯度系统 577
23.6.1运动微分方程 577
23.6.2化成梯度系统 578
23.6.3稳定性 578
23.6.4化成斜梯度系统 578
23.6.5应用举例 578
思考题 580
习题 580
参考文献 581
24动力学逆问题 582
24.1完整系统 582
24.1.1广义坐标中Lagrange方程的建立 582
24.1.2按给定的一个积分确定广义力 584
24.1.3 Noether对称性与动力学逆问题 587
24.1.4 Poisson方法与动力学逆问题 591
24.2非完整系统 593
24.2.1运动方程的组建 593
24.2.2运动方程的修改 596
24.2.3 Bertrand定理的推广 599
24.2.4 Noether对称性与动力学逆问题 603
24.3 Birkhoff系统 606
24.3.1运动方程的组建 606
24.3.2 Noether对称性与动力学逆问题 609
24.3.3根据Pfaff-Birkhoff-d’Alembert原理组建运动方程 612
24.3.4 Poisson方法与动力学逆问题 614
思考题 615
习题 615
参考文献 616
25力学的变分原理 618
25.1 d’Alembert-Lagrange原理 618
25.1.1 d’Alembert原理 618
25.1.2虚位移原理 619
25.1.3 d’Alembert-Lagrange原理的表述 619
25.1.4 d’Alembert-Lagrange原理在广义坐标中的表达 619
25.2 Jourdain原理 620
25.2.1 Jourdain原理的表述 620
25.2.2 Jourdain原理在广义坐标中的表达 621
25.3 Gauss原理 621
25.3.1 Gauss原理的表述 621
25.3.2 Gauss原理在广义坐标中的表达 622
25.4 Hamilton原理 623
25.4.1 Hamilton原理的表述 623
25.4.2一般完整系统的Hamilton原理 624
25.4.3 Hamilton原理应用于近似计算 624
25.4.4 Hamilton原理的极值特性 626
25.4.5非完整系统的Hamilton原理 627
25.4.6 CyслоB例与Pars例 628
25.5 Lagrange原理 630
25.5.1 Lagrange原理的表述 630
25.5.2 Lagrange原理的其他形式 631
25.6 Pfaff-Birkhoff原理 633
25.6.1 Pfaff-Birkhoff原理的表述 633
25.6.2 Hamilton原理是Pfaff-Birkhoff原理的特例 633
25.6.3 Pfaff-Birkhoff原理与Birkhoff方程 634
25.6.4 Pfaff-Birkhoff原理的一个推广 634
25.7力学变分原理发展简史 635
25.7.1力学变分原理的发展 635
25.7.2力学与物理学中变分原理的含义和意义 635
思考题 636
习题 637
参考文献 637
索引 639