第一章 集合论 1
0 逻辑推理 2
1.逻辑完美的构思 2
2.数学的真实语言 3
3.初等逻辑运算 5
4.公理和定理 6
5.逻辑公理和重言式 7
6.关系中的代换 10
7.量词 12
8.量词使用规则 13
9.Hilbert运算，组成准则 16
0 习题 18
1相等和属于关系 21
1.相等关系 21
2.属于关系 22
3.一个集合的子集 23
4.空集 25
5.一个和两个元素的集合 26
6.一个给定集合的子集的集合 27
1习题 28
2 函数概念 28
1.序偶 28
2.两个集合的笛卡儿乘积 30
3.图像和函数 31
4.像和逆像 34
5.函数的限制和延拓 35
6.复合映射 36
7.单射 39
8.满射和双射 40
9.多变量函数 43
2习题 45
3 并集和交集 47
1.两个集合的并集和交集 47
2.一族集合的并集 48
3.一族集合的交集 49
3习题 51
4 等价关系 53
1.等价关系 53
2.集合关于&个等价关系的商集 55
3.定义在商集上的函数 58
4习题 61
5有限集和自然数 62
1.等势集 63
2.集合的基数 64
3.基数的运算 66
4.有限集和自然数 69
5.自然数集合N 71
6.数学归纳法推理 73
7.组合分析 74
8.有理整数 77
9.有理数 81
5习题 82
第二章 群，环，域 85
6 运算 85
1.运算，结合性和交换性 85
2.可对称元 88
7群的概念 91
1.群的定义，例子 91
2.群的直积 94
3.群的子群 95
4.子群的交，生成元 99
5.置换和对换 101
6.陪集 102
7.n个对象的置换数 105
8群的同态 106
9.同态的核与像 108
10.应用到循环群 111
11.作用在&个集合上的群 112
7习题 113
8 环和域 119
1.环的定义，例子 119
2.整环和域 122
3.模p整数环 124
4.二项式公式 126
5和的乘积展开 128
6.环的同态 129
8习题 131
9复数 139
1.平方根 139
2.预备知识 139
3.环K[？ d] 140
4.二次扩张的可逆元 143
5.交换域的情形 145
6.复数的几何表示 146
7.三角函数的乘法公式 149
9习题 151
第三章 环上的模 156
10模和向量空间 156
1.环上的模的定义 156
2.模的例子 158
3.子模，向量子空间 160
4.右模和左模 161
11模内的线性关系 162
1.线性组合 162
2.有限生成模 164
3.线性关系 165
4.自由模，基 167
5.无穷线性组合 169
11习题 170
12线性映射，矩阵 175
1.同态的定义 175
2.从有限生成自由模到任意模内的同态 177
3.同态和矩阵 179
4.同态和矩阵的例子 182
13同态和矩阵的加法 186
1.加法群Hom（L， M） 186
2.矩阵的加法 187
14矩阵的乘积 188
1.模的自同态环 188
2.两个矩阵的乘积 189
3.矩阵环 192
4.同态的矩阵表示 194
12， 13， 14习题 195
15 逆矩阵和基的变换 199
1.模的自同构群 199
2.群GL（n， K） 199
3.例子：群GL（1， K）和GL（2， K） 200
4.基的变换：过渡矩阵 202
5.基的变换对于一个同态的矩阵的影响 204
15习题 207
16线性映射的转置 215
1.模的对偶 215
2.有限生成自由模的对偶 216
3.模的二次对偶 218
4.同态的转置 220
5.矩阵的转置 221
16习题 224
17子模的和 225
1.两个子模的和 225
2.模的直积 227
3.子模的直和 228
4.直和与投影 229
17习题 231
第四章 有限维向量空间 235
18有限性定理 236
1.其核与像均为有限生成的同态 236
2.Noether环上的有限生成模 237
3.主理想整环上的自由模的子模 238
4.应用到线性方程组 239
5.Noether环的其他特征 240
18习题 242
19维数概念 244
1.基的存在性 244
2.由线性方程组定义向量子空间 246
3.线性方程组相容性条件 247
4.线性关系的存在性 249
5.维数概念 251
6.基和维数的特征 253
7.同态的核与像的维数 254
8.同态、向量族和矩阵的秩 255
9.矩阵的秩的计算 257
10.从其方程计算向量子空间的维数 259
19习题 260
20线性方程组 265
1.记号和术语 265
2.线性方程组的秩，解的存在性条件 266
3.相伴齐次方程组 267
4.Cramer方程组 267
5.线性无关的方程组：化简为Cramer方程组 269
20习题 271
第五章 行列式 275
21多重线性函数 275
1.多重线性映射的定义 275
2.多重线性映射的张量积 279
3.几个代数等式 281
4.有限生成自由模的情形 284
5.基的变换对于张量分量的影响 291
21习题 293
22交错双线性和三重线性映射 298
1.交错双线性映射 298
2.有限生成自由模的情形 299
3.交错三重线性映射 302
4.关于一个基的展开 303
22习题 306
23交错多重线性映射 308
1.置换的表示 308
2.多变量函数的反对称化 313
3.交错多重线性映射（314） 4.在同构于Kp的模上的交错P-重线性函数 316
5.向量组、矩阵和自同态的行列式 319
6.有限维向量空间基的特征 322
7.交错多重线性映射：&般情形 325
8.线性无关性的判别法 327
9.线性方程组的相容性条件 329
23习题 332
24行列式 335
1.行列式的基本性质 335
2行列式按行或按列的展开 337
3.伴随矩阵 341
4.Cramer公式 343
24习题 344
25仿射空间 351
1.平移向量空间 351
2.与一个向量空间相伴的仿射空间 352
3.仿射空间内的重心 354
4.仿射空间内的线性流形 357
5.由直线生成线性流形 361
6.有限维仿射空间，仿射基 362
7.线性流形维数的计算 363
8.仿射坐标下线性流形的方程 365
第六章 多项式和代数方程 367
26代数关系 368
1.环的元素上的单项式和多项式 368
2.代数关系 369
3.交换域的情形 371
26习题 374
27多项式环 377
1.个未定元情形的预备知识 377
2.个未定元的多项式 378
3多项式记号 380
4.多个未定元的多项式 382
5.偏次数和总次数 383
6.系数在一个整环内的多项式 384
28多项式函数 386
1.多项式的值 386
2.多项式函数的和与乘积 387
3.无限域的情形 389
27， 28习题 391
29有理分式 398
1.整环的分式域：预备知识 398
2.分式域的构造 399
3.域的公理的验证 402
4.环K嵌入到它的分式域 403
5.系数在&个域内的有理分式 405
6.有理分式的值 406
29习题 410
30导子和Taylor公式 414
1.环的导子 415
2.多项式环的导子 416
3.偏导子 417
4.复合函数的导子 419
5.Taylor公式 420
6.交换域的特征 422
7.方程根的重数 423
30习题 426
31主理想整环 429
1.最大公因子 429
2.互素元素 431
3.最小公倍 431
4.素因子的存在性 433
5.素元的性质 434
6.素因子分解的唯一性 435
7.借助素因子分解求最大公因子和最小公倍 437
8.主理想整环上的分式的部分分式分解 439
31习题 440
32多项式除法 445
1.一个未定元的多项式除法 445
2.一个未定元的多项式环中的理想 448
3.几个多项式的最大公因式和最小公倍式 449
4.应用到有理分式 451
32习题 453
33代数方程的根 461
1.根的最大数目 461
2.代数闭域 464
3.系数在代数闭域内的方程根的数目 466
4.系数在代数闭域内的不可约多项式 468
5.实系数不可约多项式 469
6.方程的根与系数的关系 471
33习题 472
第七章 矩阵的化简 484
34特征值 484
1.特征向量和特征值的定义 484
2.矩阵的特征多项式 485
3.特征多项式的形式 487
4.特征值的存在性 488
5.化成三角矩阵 489
6.特征值都是单特征值的情形 492
7.可对角化的自同态的特征 495
34习题 497
35矩阵的典范形式 511
1.Hamilton-Cayley定理 511
2.幂零自同态分解 513
3.幂零自同态的结构 515
4.Jordan定理 517
35习题 520
36 Hermit型 527
1.半双线性型，Hermit型 527
2.非退化型 530
3.同态的伴随同态 532
4.关于非退化Hermit型的正交性 535
5.正交基 540
6.规范正交基 543
7.Hermit型的自同构 544
8.正定Hermit型的自同构：化成对角形 546
9.迷向向量和不定型 551
10.Cauchy-Schwarz不等式 552
36习题 554
参考文献 567
记号索引 572
术语索引 575