第一篇 高等数学 1
第一章 函数、极限、连续与求极限的方法 1
一、本章知识串讲 1
二、大纲考查要点诠释 1
（一）函数 1
（二）极限的概念与性质 4
（三）极限的存在与不存在问题 5
（四）无穷小及其阶 7
（五）函数的连续性及其判断 8
（六）求极限的方法 10
三、典型题型分析及解题方法与技巧 18
题型（一）求反函数 18
题型（二）求复合函数 18
题型（三）利用函数概念求函数表达式 19
题型（四）求0/0型或∞/∞型的极限 19
题型（五）求0·∞或∞-∞型的极限 21
题型（六）求指数型（1∞，00，∞0）的极限 22
题型（七）求含变限积分的不定式的极限 23
题型（八） 由极限值确定函数式中的参数 23
题型（九）利用夹逼法求极限 24
题型（十）求n项和数列的极限 25
题型（十一）求n项积数列的极限 26
题型（十二）求递归数列的极限 26
题型（十三）利用函数极限求数列极限 27
题型（十四）无穷小的比较与无穷小的阶的确定 28
题型（十五） 讨论函数的连续性与间断点的类型 29
题型（十六）极限的证明题 30
自测题及参考答案 30
第二章 导数与微分概念及其计算 32
一、本章知识串讲 32
二、大纲考查要点诠释 33
（一）一元函数的导数与微分 33
（二）多元函数的偏导数、方向导数与全微分（数二不要求） 36
（三）按定义求导 39
（四）基本初等函数导数表与导数四则运算法则 40
（五）复合函数的微分法则 41
（六）由复合函数求导法则导出的微分法则 43
（七）复合函数求导法则的应用——变量替换下的偏导数计算（数二不要求） 48
（八）分段函数求导法 48
（九）高阶导数及n阶导数的求法 50
（十）方向导数的计算（数二不要求） 52
三、典型题型分析及解题方法与技巧 53
题型（一）有关一元函数的导数与微分概念的命题 53
题型（二） 一元函数可导函数与不可导函数乘积的可导性的讨论 54
题型（三） 求一元各类函数的导数与微分 55
题型（四）变限积分的求导 59
题型（五） 一元函数求导与求微分的综合题 60
题型（六）求一元函数的n阶导数 61
题型（七） 一元分段函数的可导性与导函数的连续性等命题的讨论 61
题型（八）有关多元函数偏导数与全微分概念的命题（数二不要求） 63
题型（九）求二元（三元）各类函数的偏导数与全微分（数二不要求） 64
题型（十）变量替换下方程式的变形（数二不要求） 69
题型（十一）求二元、三元函数的梯度与方向导数（数二不要求） 70
题型（十二） 有关多元函数的综合题（数二不要求） 71
自测题及参考答案 72
第三章 一元函数积分及其计算 74
一、本章知识串讲 74
二、大纲考查要点诠释 74
（一）一元函数积分的概念、性质与基本定理 74
（二）积分法则 78
（三）按函数类的积分法 86
（四）广义积分 90
三、典型题型分析及解题方法与技巧 91
题型（一）有关原函数与定积分概念的命题 91
题型（二）积分值的比较或判断积分值的符号 92
题型（三）估计积分值 93
题型（四）求分段函数的原函数 93
题型（五）牛顿—莱布尼兹公式的推广 94
题型（六） 各类被积函数不定积分的计算 95
题型（七）各类被积函数定积分的计算 97
题型（八） 利用若干积分技巧计算积分 99
题型（九） 求形如∫b a（f（x）∫x a g（y）dy）dx的积分 102
题型（十） 由函数方程求积分 102
题型（十一）广义积分的计算 103
题型（十二）证明积分等式 104
题型（十三）证明积分不等式 105
题型（十四）关于变限积分的讨论 107
题型（十五）综合题 108
自测题及参考答案 111
第四章 微分学中的基本定理及其应用 112
一、本章知识串讲 112
二、大纲考查要点诠释 112
（一）连续函数的性质 112
（二）微分中值定理及其应用 114
（三）利用导数研究函数的变化 115
（四）微分中值定理的其它应用 120
（五）一元函数的泰勒公式及其应用 120
（六）多元函数极值充分判别法 （数二不要求） 123
三、典型题型分析及解题方法与技巧 124
题型（一） 有关连续函数性质的命题 124
题型（二）有关利用导数研究函数的变化的命题 126
题型（三） 有关泰勒公式及其应用的命题 131
题型（四）讨论函数的零点 133
题型（五） 用微分学的方法证明不等式 142
自测题及参考答案 150
第五章 向量代数和空间解析几何 152
一、本章知识串讲 152
二、大纲考查要点诠释 152
（一）空间直角坐标系 152
（二）向量的概念 152
（三）向量的运算 153
（四）平面方程、直线方程 156
（五）平面、直线之间相互关系的问题 157
（六）常用二次曲面的方程及其图形 159
（七）空间曲线在坐标平面上的投影 161
三、典型题型分析及解题方法与技巧 162
题型（一）向量的运算 162
题型（二）求平面方程 163
题型（三）求空间的直线方程 164
题型（四）求点、直线、平面间的关系 166
题型（五）求投影方程 167
题型（六）求曲面方程 168
自测题及参考答案 168
第六章 多元函数积分及其计算 170
一、本章知识串讲 170
二、大纲考查要点诠释 170
（一）多元函数积分的概念与性质 170
（二）在直角坐标系中化多元函数的积分为定积分 174
（三）重积分的变量替换 181
（四）如何应用多元函数积分的计算公式及如何简化计算 186
三、典型题型分析及解题方法与技巧 195
题型（一）积分值的比较与估计 195
题型（二）有关多元函数积分的概念 与性质的命题 197
题型（三）对称性的应用 198
题型（四）交换积分顺序与计算累次积分 202
题型（五）两种坐标系中累次积分的转换 205
题型（六）二重积分的计算 205
题型（七）三重积分的计算 209
题型（八）曲线积分的计算 212
题型（九）曲面积分的计算 214
题型（十）证明题与综合题 216
自测题及参考答案 219
第七章 多元函数积分学中的基本公式及其应用 220
一、本章知识串讲 220
二、大纲考查要点诠释 220
1．多元函数积分学中的基本公式——格林公式，高斯公式与斯托克斯公式 220
2．向量场的通量与散度，环流量与旋度 222
3．格林公式，高斯公式与斯托克斯公式的一个应用——简化多元函数积分的计算 223
4．用线积分表示平面区域的面积，用面积分表示空间区域的体积 227
5．平面上曲线积分与路径无关问题 227
三、典型题型分析及解题方法与技巧 232
题型（一）格林公式、高斯公式与斯托克斯公式在计算多元函数积分中的应用 232
题型（二）平面上第二类曲线积分与路径无关问题与原函数的求法 235
题型（三）散度与旋度的计算 239
题型（四）综合题 240
自测题及参考答案 242
第八章 微积分学的应用 244
一、本章知识串讲 244
二、大纲考查要点诠释 244
（一）微分学的几何应用 244
（二）积分学应用的基本方法 ——微元分析法 249
（三）积分学的几何应用 249
（四）一元函数积分学的物理应用 258
（五）多元函数积分学的物理应用 （数二不要求） 260
（六）一元函数的最大值与最小值问题 263
（七）多元函数的最大值与最小值问题 （数二不要求） 265
三、典型题型分析及解题疗法与技巧 267
题型（一）一元函数微积分的几何应用 267
题型（二）一元微积分的物理应用 274
题型（三）一元函数的最值问题 276
题型（四）综合题 278
题型（五） 多元函数微积分的几何应用 （数二不要求） 280
题型（六） 多元函数积分学的物理应用 （数二不要求） 283
题型（七） 多元函数的最值问题 （数二不要求） 287
题型（八）综合题（数二不要求） 288
自测题及参考答案 289
第九章 无穷级数 292
一、本章知识串讲 292
二、大纲考查要点诠释 292
（一）常数项级数的概念与基本性质 292
（二）正项级数敛散性的判定 293
（三）交错级数的敛散性判别法 295
（四）绝对收敛与条件收敛 295
（五）函数项级数的收敛域与和函数 295
（六）幂级数的收敛域 296
（七）幂级数的运算与和函数的性质 297
（八）函数的幂级数展开 298
（九）幂级数在近似计算上的简单应用 300
（十）傅里叶级数 300
三、典型题型分析及解题方法与技巧 303
题型（一）常数项级数敛散性的判定 303
题型（二）求一般函数项级数的收敛域 308
题型（三）幂级数有关同题的讨论 309
题型（四）常数项级数求和 313
题型（五）有关傅里叶级数的命题 315
题型（六）证明题与综合题 319
自测题及参考答案 322
第十章 微分方程 324
一、本章知识串讲 324
二、大纲考查要点诠释 324
（一）基本概念 324
（二）一阶微分方程 325
（三）可降阶的高阶方程 329
（四）线性微分方程解的性质与结构 329
（五）二阶和某些高阶常系数齐次线性方程、欧拉方程 330
（六）二阶常系数非齐次线性方程 331
（七）可化为求解微分方程的两类问题 332
（八）一阶常系数线性方程组（数二不要求） 334
（九）幂级数解法（数二不要求） 336
（十）应用问题 336
三、典型题型分析及解题方法与技巧 337
题型（一）变量可分离的方程与齐次方程的求解 337
题型（二）通过简单代换化为变量可分离的方程的求解（数二不要求） 337
题型（三） 一阶线性方程与可化为一阶线性方程的求解 338
题型（四）全微分方程与可化为全微分方程的求解（数二不要求） 339
题型（五） 可降阶的高阶微分方程的求解 340
题型（六）二阶线性常系数方程的求解 341
题型（七）特殊的变系数二阶线性方程的求解 342
题型（八） 已知特解求通解 342
题型（九）含变限积分方程的求解 343
题型（十）综合题与证明题 343
题型（十一）有关微分方程应用题的求解 344
自测题及参考答案 347
第二篇 线性代数 349
第一章 行列式 349
一、本章知识串讲 350
二、大纲考查要点诠释 350
1．行列式的概念 350
2．行列式按行（列）展开公式 351
3．行列式的性质 352
4．几个重要公式 353
三、典型题型分析及解题方法与技巧 354
题型（一） 有关行列式的概念与性质的命题 354
题型（二）行列式的计算 356
题型（三）含参数行列式的计算 359
题型（四）关于｜ A ｜＝0的证明 360
自测题及参考答案 361
第二章 n维向量与向量空间 363
一、本章知识串讲 363
二、大纲考查要点诠释 363
1．n维向量的概念与运算 363
2．线性组合与线性表出 363
3．线性相关与线性无关 364
4．线性相关与线性表出 365
5．向量组的秩与矩阵的秩 365
6．矩阵秩的重要公式 366
7．向量空间与子空间 367
8．基、维数、坐标 367
9．基变换与坐标变换 367
10．标准正交基与Schmidt正交化 368
三、典型题型分析及解题方法与技巧 368
题型（一） 线性组合、线性相关的判别 368
题型（二） 线性相关与线性无关的证明 371
题型（三）求秩与极大线性无关组 375
题型（四）有关秩的证明 377
题型（五）关于A＝0的证明 378
题型（六）有关向量空间的判定、维数、基与坐标的命题 380
题型（七）求过渡矩阵及坐标变换 381
题型（八）求标准正交基 382
题型（九）有关秩与直线平面的综合题 383
自测题及参考答案 384
第三章 矩阵及其运算 386
一、本章知识串讲 386
二、大纲考查要点诠释 386
1．矩阵的概念 386
2．几类特殊方阵 387
3．矩阵的运算 387
4．关于逆矩阵的运算规律 388
5．关于矩阵转置的运算规律 388
6．关于伴随矩阵的运算规律 388
7．矩阵A可逆的充分必要条件 388
8．初等变换 389
9．初等矩阵 389
10．矩阵的等价 389
11．矩阵方程 390
三、典型题型分析及解题方法与技巧 390
题型（一）有关矩阵的概念及运算 390
题型（二）求方阵的幂 390
题型（三）求与已知矩阵可交换的矩阵 393
题型（四）有关初等矩阵的命题 394
题型（五）矩阵可逆的计算与证明 395
题型（六）求解矩阵方程 398
自测题及参考答案 400
第四章 线性方程组 403
一、本章知识串讲 403
二、大纲考查要点诠释 403
1．线性方程组的各种表达形式 403
2．齐次方程组Ax＝0恒有解（必有零解） 403
3．如η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系 403
4．齐次方程组有非零解的判定 404
5．非齐次线性方程组有解的判定 404
6．非齐次线性方程组解的结构 404
7．克莱姆（Cramer）法则 404
三、典型题型分析及解题方法与技巧 405
题型（一）线性方程组解的基本概念 405
题型（二）线性方程组的求解 407
题型（三）含有参数的方程组解的讨论 408
题型（四）有关线性方程组命题的证明 409
自测题及参考答案 411
第五章 n阶矩阵的特征值与特征向量 413
一、本章知识串讲 413
二、大纲考查要点诠释 413
1．矩阵的特征值与特征向量的概念 413
2．特征值与特征向量的求法 413
3．特征值与特征向量的性质 413
4．相似矩阵的概念与性质 414
5．矩阵可相似对角化的充分必要条件 414
6．化A为对角矩阵A的解题步骤 415
7．实对称矩阵必可对角化 415
三、典型题型分析及解题方法与技巧 415
题型（一）求矩阵的特征值和特征向量 415
题型（二） 用特征值和特征向量反求矩阵A 420
题型（三）求矩阵A中的参数 421
题型（四） n阶矩阵A能否对角化的判定 423
题型（五）求矩阵A的相似标准形 424
题型（六）相似对角化的应用 425
题型（七）有关特征值与特征向量的证明 427
自测题及参考答案 428
第六章 二次型 430
一、本章知识串讲 430
二、大纲考查要点诠释 430
1．二次型及其矩阵表示 430
2．二次型的标准形 430
3．惯性定理 431
4．合同矩阵 431
5．正定二次型与正定矩阵 431
三、典型题型分析及解题方法与技巧 432
题型（一）有关二次型基本概念的命题 432
题型（二）化二次型为标准形 433
题型（三） 求解二次型标准形的逆问题 436
题型（四）判别二次型的正定性 437
题型（五）有关正定性的证明 438
题型（六） 有关正定矩阵的综合题 439
自测题及参考答案 440
第三篇 概率统计初步 442
第一章 随机事件与概率 442
一、本章知识串讲 442
二、大纲考查要点诠释 442
（一）随机事件的关系与运算 442
（二）随机事件的概率 444
（三）条件概率与全概率公式 445
（四）事件的独立性与伯努利公式 446
三、典型题型分析及解题方法与技巧 447
题型（一） 随机事件间的关系与运算 447
题型（二）有关概率的定义与性质的命题 448
题型（三） 利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率 452
自测题及参考答案 455
第二章 一维随机变量的概率分布及其数字特征 458
一、本章知识串讲 458
二、大纲考查要点诠释 458
1．随机变量 458
2．分布函数 458
3．离散型随机变量 459
4．连续型随机变量 459
5．一维随机变量的数字特征 460
6．几种重要分布 461
7．随机变量函数的概率分布 463
三、典型题型分析及解题方法与技巧 464
题型（一）确定分布函数、分布律、概率密度中含有的待定常数 464
题型（二） 确定随机变量的分布函数、分布律或密度函数 465
题型（三） 求随机变量函数的分布 467
题型（四）综合应用题 469
自测题及参考答案 472
第三章 二维随机变量的概率分布及其数字特征 475
一、本章知识串讲 475
二、大纲考查要点诠释 475
1．二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数 475
2．二维离散型随机变量 475
3．二维连续型随机变量 476
4．二维随机变量的条件分布 477
5．两个常见的二维连续型随机变量的分布 479
6．二维随机变量的协方差、相关系数与相互独立性 479
7．随机变量的矩 481
8．二维随机变量函数的分布 481
三、典型题型分析及解题方法与技巧 483
题型（一）有关概率分布的计算 483
题型（二） 有关分布函数及密度函数的命题 485
题型（三）求两个随机变量函数的分布 488
题型（四）关于数字特征的命题 491
题型（五）应用题与综合题 495
自测题及参考答案 496
第四章 大数定律和中心极限定理 500
一、本章知识串讲 500
二、大纲考查要点诠释 500
（一）大数定律 500
（二）中心极限定理 501
三、典型题型分析及解题方法与技巧 502
题型（一）切比雪夫不等式与大数定律 502
题型（二）中心极限定理的应用 503
自测题及参考答案 508
第五章 数理统计的基本概念 510
一、本章知识串讲 510
二、大纲考查要点诠释 510
（一）总体、样本、样本的数字特征 510
（二）统计量及抽样分布 511
三、典型题型分析及解题方法与技巧 514
自测题及参考答案 516
第六章 参数估计和假设检验 518
一、本章知识串讲 518
二、大纲考查要点诠释 518
（一）统计估计 518
（二）假设检验 521
三、典型题型分析及解题方法与技巧 522
题型（一）最大似然估计与矩估计 522
题型（二） 点估计的无偏性与有效性 524
题型（三） 正态总体期望与方差的区间估计 526
题型（四）正态总体期望与方差的假设检验 528
自测题及参考答案 530