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第一章 数量场 1

1.1. 基本概念 1

1.2. 平等平面(二维)场和轴对称场 3

1.3. 等值面与等值线 4

1.4. 方向导数 5

第一部分 场的数学理论 6

序 6

1.5. 场的梯度 8

1.6. V算子和梯度的运算 12

1.7. 在柱面坐标系和球面坐标系中的梯度 14

习题 19

第二章 向量场 20

2.1. 基本概念 20

2.2. 平行平面场、二维场和其它类型的场 21

2.3. 流体动力学的比拟 23

2.4. 向量的流量 26

2.5. 在一般情形下流量的表达式·曲面积分 28

2.6. 场的散度·源和汇 35

2.7. 在笛卡尔直角坐标系中散度的计算 37

2.8. 在柱面坐标系和球面坐标系中散度的计算 39

2.9. 散度的运算 46

2.10. 场的环流和旋度·旋度在笛卡尔直角坐标系中的计算 48

2.11. 在柱面坐标系和球面坐标系中旋度的计算 56

2.12. 旋度的运算 59

2.13. V运算 59

习题 63

第三章 积分定理 64

3.1. 高斯-奥斯特洛格拉得斯基定理及其某些应用 64

3.2. 斯托克斯定理 71

3.3. 高斯-奥斯特洛格拉得斯基定理及斯托克斯定理的推广 75

习题 76

4.1. 二阶微分运算 77

第四章 二阶微分运算及其应用 77

4.2. 在柱面坐标系和球面坐标系中的拉普拉斯 81

4.3. 向量场的分类 84

4.4. 管式场和无涡旋场的性质 86

4.5. 格林公式 89

习题 90

第二部分 数学物理微分方程 91

第五章 弦振动方程 91

5.1. 方程的推导 91

5.2. 无界弦振动(柯西问题)·达兰贝尔解 94

5.3. 有界弦的自由振动·福里哀方法 101

5.4. 有界弦的强迫振动 111

5.5. 管中的气体振动 114

5.6. 能量积分·混合问题解的唯一性 117

习题 122

第六章 膜振动方程 123

6.1. 方程的推导 123

6.2. 矩形膜振动 127

6.3. 矩形膜上的节线 135

6.4. 圆形膜和贝塞尔方程 138

6.5. 贝塞尔函数(柱函数) 141

6.6. 圆形膜振动 147

习题 154

7.1. 方程的推导 155

第七章 热传导方程 155

7.2. 一维热传导方程的柯西问题 157

7.3. 福里哀积分 160

7.4. 在无界杆中热的传播 164

7.5. δ-函数·源函数 166

7.6. 有界杆中热的传播 173

习题 184

第八章 拉普拉斯方程的边值问题 184

8.1. 问题的提出 184

8.3. 在球域和半空间上狄利赫里问题的解 190

8.4. 拉普拉斯方程在球面坐标系中的变量分离·勒让得多项式与勒让得伴随函数 198

8.5. 拉普拉斯球函数和球面函数 205

8.6. 按球函数展开来求球域的狄利赫里问题的解 208

8.7. 球的固有振动·阶数等于奇整数之一半的贝塞尔函数 211

习题 219

第九章 薛定锷方程和与它有关的某些问题 219

9.1. 薛定锷方程·在量子力学中的谐振子和契贝雪夫--爱尔米特多项式 219

9.2. 电子在库仑场内的运动·契贝雪夫--略盖尔多项式 225

习题 231

场的数学理论公式汇编 232

1. 概率的概念·统计研究方法 240

附录 概率论初步 240

2. 概率的加法与乘法 242

3. 条件概率 244

4. 重复试验·二项式分布 245

5. 统计场和统计样本 248

6. 随机变量·分布函数 248

7. 数学期望·方差与均方根偏差 255

8. 各种分布律的例子 265

9. 拉普拉斯极限定理 274

10. 大数定律·切贝雪夫定理 279

11. 波阿松定理和《稀少》事件的分布·物理应用 281

函数Ф(t)=?dt的值的表 285