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前言页 1

第一章 函数与极限 1

题型一 函数的概念性质 1

（一）求函数的表达式 1

（二）求函数的定义域 2

（二）求函数的值域 3

（四）函数的性质 4

（一）经过变形求数列的极限 6

题型二 求数列的极限 6

（二）利用极限存在准则求极限 8

题型三 求未定式的极限 10

（一）o／o型的极极限010 （二）∞/∞型的极限 11

（三）∞—∞型的极限011 （四）o．∞型的极限 13

（五）■，■，■三类极限 14

题型四 极限存在性的讨论 15

题型五 极限式中常数的确定 17

题型六 函数的连续性 18

（一）连续性的判断018 （二）间断点及其类型的判定 19

（三）闭区间上连续函数的命题的证明 20

第二章 导数与微分 23

题型一 按定义求导数 23

（一）求函数在一点处的导数023 （二）判断函数是否可导 24

（三）分段函数在分点处的导数 25

题型二 按公式求导数 28

（一）利用基本初等函数及和、差、积、商的求导公式计算导数 28

（二）复合函数求导数029 （三）利用对数求导法求导数 30

（四）隐函数及反函数求导032 （五）参数方程所确定的函数求导数 33

题型三 求高阶导数 34

（六）变上限积分求导数 34

题型四 求微分 36

题型五 相关变化率 37

第三章 中值定理与导数的应用 39

题型一 中值问题 39

（一）验证中值定理039 （二）用中值定理证明等式 41

（三）用中值定理证明不等式044 （四）用中值定理判定方程根的情况 48

（五）用泰勒中值定理求极限 50

题型二 按罗比达法则求极限 51

（一）“o／o”型051 （二）“∞／∞”型053 （三）“0·∞”型、“∞—∞”型 54

（四）“■”型，“■”型，“∞■”型 56

题型三：求函数的单调区间与极值 58

（一）求函数的单调区间058（二）求函数的极值 59

（三）求函数的最大值和最小值 61

题型四 求函数的拐点与凹凸区间 64

题型五 作函数的图形 66

第四章 不定积分 70

题型一 运用基本积分公式积分 70

题型二 运用第一换元法（凑微分法）积分 71

题型三 运用第二换元法（变量置换法）积分 77

（一）∫R（■－■）dx型（丨x丨≤a）077（二）∫R（■＋■）型080（三）∫R（■－■）dx型 82

（四）∫R（■＋■）dx型082（五）∫R（x，■，■）dx型083（六）其它 84

题型四 运用分部积分法积分 86

（一）∫■（x）■dx、∫■（x）sin mxdx、∫■（x）cosmxdx型 86

（二）∫■（x）In xdx、∫■（x）arcsin xdx∫■（x）arctgxdx型 89

（三）∫■sin βxdx，∫■cos βxdx型092（四）其它 94

题型五 分式有理函数的积分 96

题型六 三角有理式的积分 98

（一）利用三角函数积化和差公式098（二）利用倍角半角公式099（三）利用万能公式099（四）其它 101

题型一 定积分的性质 103

第五章 定积分 103

（一）比较大小103（二）估值104（三）函数的均值 106

（四）求函数 106

题型二 定积分的计算 107

（一）使用微积分基本公式107（二）利用换元法计算 108

（三）利用分部积分法计算113（四）利用递推公式 115

（五）利用函数的奇偶性116（六）利用定积分的定义 117

题型三 有关的证明 119

题型四 广义积分 122

（一）无限区间上的积分122（二）无界函数的广义积分 123

题型五 积分上限的函数 124

（一）求函数f（x）124（二）求导数125（三）求极限 127

（四）求极值 129

第六章 定积分的应用 130

题型一 求平面图形的面积 130

题型二 求曲线的长度 132

题型三 求体积 133

（一）求旋转体的体积133（二）求平行截面面积为已知的立体体积 138

题型四 求变力所作的功 139

题型五 求水压力 140

题型六 求引力 141

题型七 求函数的平均值 142

第七章 空间解析几何与向量代数 143

题型一 向量的运算 143

（一）向量的运算143（二）用向量运算解有关的几何问题 146

题型二 曲面方程 147

（一）按条件求曲面方程147（二）由方程判别曲面形状 149

题型三 空间曲线的方程 150

题型四 求平面方程 153

题型五 求空间直线方程 155

题型六 求夹角与距离 157

（一）求夹角157（二）求距离 158

题型七 综合题 160

第八章 多元函数微分法及其应用 163

题型一 多元函数极限的判定与计算 163

（一）判定二元函数的极限是否存在163（二）利用函数的连续性与极限四则运算性质计算极限 164

（三）转化为一元函数的极限问题165（四）利用夹逼法则求极限 166

题型二 求函数的偏导数 167

（一）对具体的函数求偏导数167（二）对抽象的复合函数求偏导数169（三）对隐函数求偏导数 170

题型三 微分法在几何上的应用 175

（一）求空间曲线的切线与法平面175（二）求曲面的切平面与法线 177

题型四 求函数的方向导数与梯度 179

题型五 求多元函数的极值及应用 181

（一）求多元函数的无条件极值 181

（二）求最大（小）值的应用题 182

第九章 重积分 185

题型一 二重积分性质的应用 185

（一）利用性质进行证明185（二）利用性质估值 186

（三）交换积分次序后计算192（四）交换坐标系后计算193 （五）变量替换（194）（六）利用对称性计算（196）（七）被积 188

题型二 二重积分的计算 188

（一）按一般步骤计算188（二）将区域分片后计算 191

函数为绝对值的情况 199

题型三 三重积分的计算 200

（一）利用直角坐标系计算200（二）利用柱坐标系计算 203

（三）利用球坐标系计算 203

题型四 重积分的应用 206

（一）求平面图形的面积206（二）求曲面的面积 206

（二）求几何体的体积207（四）求物体的质量 208

（五）求物体的重心209（六）求转动惯量 210

（七）求引力 211

第十章 曲线积分与曲面积分 213

题型一 曲线积分 213

（一）对弧长的曲线积分213（二）对坐标的曲线积分 213

题型二 格林公式及其推论 217

（一）直接用格林公式217（二）积分与路径无关的条件 220

（三）二元函数的全微分求积 222

题型三 曲面积分 224

（一）对面积的曲面积分224（二）对坐标的曲面积分及高斯公式） 230

题型四 流量 散度 斯托克斯公式及旋度 235

第十一章 无穷级数 238

题型一 常数项级数收敛性的判定 238

（一）正项级数的比较审敛法及其极限形式238（二）正项级数的比值审敛法 241

（三）正项级数的根值审敛法243（四）按级数收敛的必要条件判定 243

（五）按级数收敛的定义判定244（六）交错级数收敛性及级数的绝对收敛和条件收敛性的判定 245

题型二 求一般函数项级数的收敛域 249

题型三 求幂级数的收敛半径与收敛区间 250

（一）一般情形（■≠0）时幂级数的收敛半径与收敛式间 250

（二）缺偶次（或奇次）幂项时幂级数收敛半径与收敛区间 254

题型四 求幂级数的和函数 255

题型五 求函数的幂级数展开式 259

（一）直接展开法259（二）间接展开法 259

题型六 傅立叶级数 264

（一）将周期为2л的函数展开成傅立叶级数264（二）将函数展开成正弦级数或余弦级数 267

（三）将周期为21的函数展开成傅立叶级数270（四）求函数的傅立叶级数的和函数 271

第十二章 微分方程 273

题型一 一阶微分方程的求解 273

（一）可分离变量的微分方程273（二）齐次方程 275

（三）一阶线性微分方程276（四）全微分方程 278

题型二 可降阶的高阶微分方程的求解 279

（一）■＝f（x）279（二）■＝（x，■） 280

（三）■＝ f（y，■） 281

题型三 二阶常系数齐次方程的求解 282

（一）二阶常系数齐次线性微分方程282（二）二阶常系数非齐次线性微分方程282（二）线性方程解的构造 285

题型四 微分方程的幂级数解法 287

题型五 微分方程的应用 288

（一）求函数288（二）几何问题289（三）力学问题 291

（四）热传导问题295（五）微量分析法 295