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目录 1

第1章　空间坐标系 1

1.1 空间直角坐标系 1

1.1.1 空间直角坐标系 1

1.1.2　两个简单问题 4

1.2 曲面和曲线的方程 7

1.2.1 曲面的方程 8

1.2.2　曲线的方程 9

1.3　两种常用的空间坐标系 12

1.3.1 柱面坐标 12

1.3.2　球面坐标 13

第2章　矢量代数 17

2.1 矢量的概念与矢量的线性运算 17

2.1.1 矢量与它的几何表示 17

2.1.2　矢量的加法 19

2.1.3　数乘矢量 21

2.1.4　共线或共面的矢量 24

2.2　矢量在轴上的投影、矢量的坐标 28

2.2.1　矢量在轴上的投影 28

2.2.2　矢量的坐标 31

2.2.3　用坐标作矢量的线性运算 32

2.3　矢量的内积 35

2.3.1 矢量的内积 35

2.3.2　用坐标作内积运算 37

2.3.3　方向余弦 39

2.4　矢量的外积与混合积 43

2.4.1　矢量的外积与混合积 43

2.4.2　用坐标作外积运算 47

2.4.3　用坐标计算混合积 49

2.4.4　二重外积公式 50

第3章　平面与直线 54

3.1　平面的方程 54

3.1.1　平面的点法式方程 54

3.1.2　平面的一般方程 55

3.1.3　平面的截距式方程 57

3.1.4　平面的参数式方程 58

3.2　平面的法式方程 61

3.2.1　平面的法式方程 61

3.2.2　点和平面的距离 62

3.3　直线的方程 66

3.3.1　直线的各种方程 66

3.3.2　直线的一般方程 68

3.3.3　平面束 70

3.4　平面、直线之间的位置关系 73

3.4.1　两平面间的位置关系 73

3.4.2　两直线间的位置关系 74

3.4.3　直线和平面间的位置关系 77

3.4.4　点和直线的距离两异面直线的距离 80

4.1　空间曲线与曲面的参数方程 87

4.1.1　空间曲线的参数方程 87

第4章　特殊的曲面 87

4.1.2　曲面的参数方程 90

4.2　柱面锥面二次柱面与二次锥面 93

4.2.1 柱面 93

4.2.2　二次柱面 97

4.2.3　投影柱面 98

4.2.4　锥面 99

4.2.5　二次锥面 101

4.3.1 旋转曲面 104

4.3　旋转曲面二次旋转曲面 104

4.3.2　二次旋转曲面 108

4.4　基本类型二次曲面 112

4.4.1 基本类型二次曲面的标准方程 112

4.4.2　基本类型二次曲面的形状 113

4.5　直纹二次曲面 120

4.5.1 单叶双曲面是直纹二次曲面 121

4.5.2　双曲抛物面是直纹二次曲面 124

5.1　平面的坐标变换 127

5.1.1 平移 127

第5章　二次曲线与二次曲面 127

5.1.2　旋转 129

5.1.3　一般的坐标变换 130

5.2　二次曲线 132

5.2.1 二次曲线方程在坐标变换下系数的改变 132

5.2.2　二次曲线方程的化简 134

5.2.3　二次曲线的不变量 136

5.2.4　用不变量确定二次曲线的标准方程 140

5.2.5　二次曲线方程化简举例 143

5.3　空间的坐标变换 146

5.3.1　平移 146

5.3.2　旋转 148

5.3.3　一般的坐标变换 151

5.4　二次曲面的分类 155

5.4.1　一般二次曲面 155

5.4.2　一般二次曲面的分类 157

5.5　二次曲面的不变量 167

第6章　正交变换与仿射变换 172

6.1　平面上点的变换与运动 172

6.1.1　平面上点的变换 172

6.1.2　平面上的运动 177

6.2　平面上点的正交变换 179

6.2.1　平面上点的正交变换 179

6.2.2　关于正交变换的定理 181

6.3.1 平面上的仿射坐标系与仿射变换 183

6.3　平面上点的仿射变换 183

6.3.2　在仿射变换下矢量的变换 185

6.3.3　仿射变换的性质 187

6.4　二次曲线的度量分类与仿射分类 192

6.4.1　变换群与几何学科分类 192

6.4.2　二次曲线的度量分类 194

6.4.3　二次曲线的仿射分类 196

6.5　空间的正交变换与仿射变换 197

6.5.1　空间的正交变换 197

6.5.2　空间的仿射变换 200

6.6.1　二次曲面的度量分类 202

6.6　二次曲面的度量分类与仿射分类 202

6.6.2　二次曲面仿射分类 203

第7章　射影几何 206

7.1 扩大的欧氏平面与射影平面 206

7.1.1　无穷远点与扩大的欧氏平面 206

7.1.2　齐次坐标 207

7.1.3　射影平面 209

7.2.1 结合关系 212

7.2　结合关系与对偶原理 212

7.2.2　对偶原理 214

7.3　德沙格定理 219

7.4　共线四点的交比 223

7.4.1　共线三点的定比 223

7.4.2　共线四点的交比 225

7.4.3　4个点的各种交比 227

7.4.4　有叠合点的交比 230

7.5.1　透视对应 231

7.5　交比在中心投影下的不变性 231

7.5.2　交比在中心投影下的不变性 234

7.5.3　共点四线的交比 234

7.6　交比在射影对应下的不变性 238

7.6.1　射影对应 238

7.6.2　一维射影变换的坐标表示 240

7.7　调和组 243

7.7.1　调和点组和调和线组 243

7.7.2　完全四点形和完全四边形的调和性质 244

7.7.3　第四调和元素的作图 247

7.8　二次曲线与它的极线 248

7.8.1　定义与记号 248

7.8.2　二次曲线的切线与极线 249

7.9　二次曲线的射影定义 254

7.10　巴斯加定理与布立安香定理 256

附录条件极值 259

习题解答 262