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第1章 绪论 1

1.1 课程的内容、意义和特点 1

编者的话 3

1.2 误差的基本概念 4

1.2.1 误差和有效数字 4

前言 5

1.2.2 函数求值的误差估计 5

1.2.3 计算机中数的表示和舍入误差 7

1.3 数值稳定性和病态问题 8

1.3.1 算法的稳定性 8

1.3.2 病态数学问题和条件数 10

习题1 11

1.4 算法的实现 11

数值试验题1 12

第2章 预备知识 13

2.1 微积分若干基本概念和基本定理 13

2.1.1 数列极限和函数极限 13

2.1.2 闭区间上的连续函数 14

2.1.3 函数序列的一致收敛性 16

2.1.4 中值定理 17

2.1.5 变参数积分求异公式 19

2.2 常微分方程的基本概念和有关理论 19

2.2.1 基本概念 19

2.2.2 初值问题解的存在唯一性 21

2.2.3 初值问题的适定性、条件 23

2.2.4 两点边值问题 25

2.3 线性代数的有关概念和结论 26

2.3.1 线性空间 26

2.3.2 矩阵和矩阵变换 28

2.3.3 初等矩阵 30

2.3.4 矩阵的特征值和谱半径 31

2.3.5 Jordan标准形 34

2.3.6 矩阵特征值估计--Gerschgorin圆盘定理 37

2.3.7 对角占优阵 40

2.3.8 对称正定阵 42

2.3.9 分块矩阵 44

2.3.10 向量和连续函数的内积 46

2.3.11 向量范数，矩阵范数和连续函数的范数 48

习题2 55

第3章 线性代数方程组的数值解法 61

3.1 引言 61

3.2 高斯消去法 62

3.2.1 顺序消去过程和矩阵的LU三角分解 62

3.2.2 可行性和计算量 67

3.2.3 数值稳定性：选主元 68

3.3 矩阵的直接三角分解法 75

3.3.1 三角形方程组的追赶法 75

3.3.2 对称正定的Cholesky分解法 77

3.4 方程组的性态、条件数 81

3.4.1 病态方程组和矩阵的条件数 81

3.4.2 条件数的应用：方程组误差估计 85

3.5 大型方程组的迭代方法 87

3.5.1 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代法 88

3.5.2 迭代法的收敛性和收敛速度 91

3.5.3 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性判定 95

3.5.4 分块迭代法 97

3.6 应用例题 98

评注 102

习题3 104

数值试验题3 109

第4章 插值和拟合 113

4.1 引言 113

4.1.1 函数的插值 113

4.1.2 离散数据的拟合 114

4.2 插值 116

4.2.1 拉格朗日插值法 116

4.2.2 插值的余项 118

4.2.3 均差和牛顿插值法 119

4.3 分段低次插值 121

4.3.1 龙格现象和分段线性插值 121

4.3.2 分段埃尔米特三次插值 124

4.3.3 附注：二重埃尔米特插值 127

4.4 三次样条插值 127

4.4.1 样条插值的背景和定义 127

4.4.2 三次样条插值的定解条件 128

4.4.3 三弯矩算法 130

4.4.4 例题和一致收敛性 133

4.5.1 连续函数空间 136

4.5 正交多项式 136

4.5.2 离散点列上的正交多项式 139

4.5.3 连续区间上的正交多项式 143

4.6 离散数据的曲线拟合 146

4.6.1 线性模型和最小二乘拟合 146

4.6.2 正规方程和解的存在唯一性 147

4.6.3 多项式拟合和例题 151

4.6.4 正规方程的病态和正交多项式拟合 154

评注 158

习题4 158

数值试验题4 161

5.1 引言 162

第5章 数值积分和数值微分 162

5.2 梯形公式和Simpson求积公式 164

5.2.1 梯形公式和Simpson公式 164

5.2.2 复化梯形公式和复化Simpson公式 167

5.3 Gauss求积公式 170

5.3.1 Gauss点与正交多项式零点的关系 171

5.3.2 常用的Gauss型求积公式 173

5.3.3 Gauss公式的余项 178

5.3.4 Gauss求积公式的数值稳定性和收敛性 179

5.4 数值微分 180

5.4.1 Taylor展开法 181

5.4.2 插值型求导公式 185

5.4.3 三次样条求导 187

5.5.1 外推原理 189

5.5 外推技巧和自适应技术 189

5.5.2 数值微分的外推算法 191

5.5.3 数值积分的Romberg算法 191

5.5.4 自动变步长Simpson方法和自适应Simpson方法 193

5.6 应用例题 194

评注 197

习题5 198

数值试验题5 201

第6章 常微分方程的数值解法 203

6.1 引言 203

6.2.1 Euler方法及其截断误差和阶 204

6.2 初值问题的数值解法 204

6.2.2 Runge-Kutta法 209

6.2.3 单步法的稳定性 214

6.2.4 线性多步法 217

6.2.5 预测-校正技术和外推技巧 221

6.3 一阶常微分方程组的数值方法 225

6.3.1 一阶方程组和高阶方程 225

6.3.2 刚性方程(组) 227

6.4 边值问题的打靶法和差分法 233

6.4.1 打靶法 234

6.4.2 差分法 237

6.5 有限元方法 239

6.5.1 泛函极值和Euler方程 240

6.5.2 两点边值问题的变分原理 244

6.5.3 变分近似法--Ritz-Galerkin方法 251

6.5.4 有限元方法 257

评注 266

习题6 267

数值试验题6 272

第7章 非线性方程和方程组的解法 276

7.1 引言 276

7.1.1 问题的背景和内容概要 276

7.1.2 一元方程的搜索法 277

7.2 一元方程的基本迭代法 279

7.2.1 基本迭代法及其收敛性 279

7.2.2 局部收敛性和收敛阶 282

7.2.3 收敛性的改善 286

7.3 一元方程的牛顿迭代法 288

7.3.1 牛顿迭代法及其收敛性 288

7.3.2 重根时的牛顿迭代改善 291

7.3.3 离散牛顿法 293

7.4 非线性方程组的解法 294

7.4.1 不动点迭代法 294

7.4.2 牛顿迭代法 298

7.4.3 拟牛顿法 303

附录7.1 某些定理的证明 307

附录7.2 延拓法 310

评注 313

习题7 314

数值试验题7 317

第8章 最优化方法 318

8.1 引言 318

8.2 线性规划及其解法 320

8.2.1 标准形式和基本性质 320

8.2.2 单纯形算法 324

8.2.3 单纯形方法的初始化 330

8.2.4 线性规划的对偶性质 333

8.2.5 对偶变尺度算法 336

8.3 无约束最优化方法 342

8.3.1 基本概念和下降法 342

8.3.2 一维搜索 345

8.3.3 下降方向和收敛性 348

8.3.4 非线性最小二乘问题 351

8.4 约束最优化方法 356

8.4.1 引言 356

8.4.2 罚函数法 357

8.4.3 下降法 363

8.4.4 凸二次规划的内点算法 369

评注 374

习题8 375

数值试验题8 377

第9章 矩阵特征值问题的数值解法 379

9.1 引言 379

9.1.1 问题的背景和内容概要 379

9.1.2 特征值的扰动和条件数 381

9.2.1 幂法和外推加速 382

9.2 幂法及其变形 382

9.2.2 反幂法和原点位移 387

9.2.3 对称矩阵的修正幂法 390

9.3 矩阵的两种正交变换 393

9.3.1 平面旋转变换和镜面反射变换 393

9.3.2 化矩阵为Hessenberg形 398

9.3.3 矩阵的QR分解 402

9.4 QR算法 405

9.4.1 QR算法及其收敛性 405

9.4.2 QR算法的改善 410

9.4.3 双步隐式QR算法 413

习题9 420

评注 420

数值试验题9 423

附录 Matlab语言简介 424

f.1 Matlab语言的特点 424

f.2 环境窗口、语言结构和编程方法 426

f.3 主要语法和符号 428

f.4 矩阵的操作和运算 433

f.5 库函数 439

f.6 若干算法的Matlab程序 442

参考文献 454

习题答案 456

索引 468