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第一部分 一般解法 1

第一章 一阶微分方程 1

1.已解出导数的微分方程：y =f(x,y)；基本概念 1

1.1.微分方程的表示法和几何意义 1

1.2.解的存在和唯一性 2

2.已解出导数的微分方程：y =f(x,y)；解法 4

2.1.折线法 4

2.2.皮卡尔-林德略夫逐次逼近法 5

2.3.幂级数的应用 8

2.4.级数展开的更一般的情况 8

2.5.按参数展开的级数 11

2.6.同偏微分方程的联系 11

2.7.估值定理 12

某些记号 14

2.8.对于大的x值解的性状 15

3.1.关于解和解法 16

3.未解出导数的微分方程：F(y ,y,x)=0 16

3.2.正则线素和奇异线素 18

4.特殊类型的一阶微分方程的解 19

4.1.可分离变量的微分方程 19

4.2.y =f(ax+by+c) 20

4.3.线性微分方程 20

4.4.线性微分方程解的渐近性质 21

4.6.齐次微分方程与可化为齐次的微分方程 24

4.5.伯努利方程.y +f(x)y+g(x)ya=0 24

4.7.广义齐次方程 26

4.8.特殊的黎卡提方程：y +ay2=bxa 27

4.9.一般的黎卡提方程：y =f(x)y2+g(x)y+h(x) 28

4.10.第一类阿贝耳方程 32

4.11.第二类阿贝耳方程 35

4.12.全微分方程 37

4.13.积分因子 38

4.14.F(y ,y,x)=0,“借助于微分的积分法” 39

4.15.(a)y=G(x,y );(b)x=G(y,y ) 39

4.17.(a)y=g(y );(b)x=g(y ) 40

4.16.(a)G(y ,x)=0;(b)G(y ,y)=0 40

4.18.克莱罗方程 41

4.19.拉格朗日-达兰贝尔方程 42

4.20.F(x,xy -y,y )=0. 勒让德变换 42

第二章 已解出导数的任意微分方程组 44

5.基本概念 44

5.1.微分方程组的表示法和几何意义 44

5.2.解的存在和唯一性 44

5.3.卡拉西奥多里存在定理 45

5.4.解对于初始条件和对于参数的依赖性 46

5.5.稳定性问题 47

6.解法 50

6.1.折线法 50

6.2.皮卡尔-林德略夫逐次逼近法 50

6.3.幂级数的应用 51

6.4.同偏微分方程的联系 52

6.5.借助于解之间的已知关系简化方程组 52

6.7.估值定理 53

6.6.利用微分法和消元法简化方程组 53

7.自治系统 55

7.1.自治系统的定义和几何意义 55

7.2.当n=2时，奇点邻域内积分曲线的性状 57

7.3.确定奇点类型的准则 59

第三章 线性微分方程组 63

8.任意的线性微分方程组 63

8.1.一般注记 63

8.3.化非齐次方程组为齐次方程组 64

8.2.存在和唯一性定理.解法 64

8.4.估值定理 65

9.齐次线性方程组 66

9.1.解的性质.基本解组 66

9.2.存在定理和解法 67

9.3.把方程组简化为方程个数较少的方程组 69

9.4.共轭微分方程组 70

9.5.自共轭微分方程组 71

9.6.共轭微分型组；拉格朗日恒等式；格林公式 72

9.7.基本解 73

10.1.奇点的分类 74

10.具有奇点的齐次线性方程组 74

10.2.弱奇点 75

10.3.强奇点 77

11.对于大的x值解的性状 78

12.依赖于参数的线性方程组 80

13.常系数线性方程组 83

13.1.齐次方程组 83

13.2.更一般形式的方程组 83

14.已解出最高阶导数的方程：y(n)=f(x,y，y ,…, y(n-1)) 85

第四章 任意n阶微分方程 85

15.未解出最高阶导数的方程：F(x,y,y ,…, y(n))=0 86

15.1.全微分方程 86

15.2.广义齐次方程 86

15.3.不显含x或y的方程 87

第五章 n阶线性微分方程 88

16.任意的n阶线性微分方程 88

16.1.一般注记 88

16.2.存在和唯一性定理.解法 88

16.4.化非齐次微分方程为齐次微分方程 90

16.3.n-1阶导数的消去法 90

16.5.对于大的x值解的性状 91

17.n阶齐次线性微分方程 91

17.1.解的性质和存在定理 91

17.2.微分方程的降阶法 93

17.3.关于解的零点 94

17.4.基本解 94

17.5.共轭的、自共轭的和反自共轭的微分型 95

17.6.拉格朗日恒等式；狄里克莱公式和格林公式 97

17.7.关于共轭方程和全微分方程的解 98

18.具有奇点的齐次线性微分方程 99

18.1.奇点的分类 99

18.2.点x=ζ是正则点或弱奇点的情况 102

18.3.点x=∞是正则点或弱奇点的情况 105

18.4.点x=ζ是强奇点的情况 106

18.5.点x=∞是强奇点的情况 107

18.6.具有多项式系数的微分方程 108

18.7.具有周期系数的微分方程 109

18.8.具有双周期系数的微分方程 111

18.9.实变量的情况 112

19.利用定积分解线性微分方程 113

19.1.一般原理 113

19.2.拉普拉斯变换 117

19.3.特殊的拉普拉斯变换 120

19.4.梅林变换 122

19.5.欧拉变换 123

19.6.利用二重积分求解 126

20.1.多项式系数 127

20.对于大的x值解的性状 127

20.2.更一般形式的系数 128

20.3.连续的系数 129

20.4.振荡定理 130

21.依赖于参数的n阶线性微分方程 130

22.某些特殊类型的n阶线性微分方程 134

22.1.常系数齐次微分方程 134

22.2.常系数非齐次微分方程 135

22.4.拉普拉斯方程 137

22.3.欧拉方程 137

22.5.具有多项式系数的方程 138

22.6.波赫哈默尔方程 139

第六章 二阶微分方程 146

23.二阶非线性微分方程 146

23.1.特殊类型的非线性方程的解法 146

23.2.某些补充说明 147

23.3.极限值定理 148

23.4.振荡定理 149

24.1.一般注记 150

24.任意的二阶线性微分方程 150

24.2.某些解法 151

24.3.估值定理 153

25.二阶齐次线性微分方程 154

25.1.二阶线性微分方程的简化 154

25.2.关于二阶线性方程简化的进一步说明 156

25.3.把解展开为连分数 159

25.4.关于解的零点的一般注记 161

25.5.在有限区间上解的零点 161

25.6.当x→∞时解的性状 165

25.7.具有奇点的二阶线性微分方程 167

25.8.近似解.渐近解(实变量时) 170

25.9.渐近解(复变量时) 174

25.10.WBK法 175

第七章 三阶和四阶线性微分方程 177

26.三阶线性微分方程 177

27.四阶线性微分方程 178

28.1.折线法 179

28.一阶微分方程的近似积分 179

第八章 微分方程的近似积分法 179

28.2.补充半步法 180

28.3.龙格-霍伊恩-库塔法 181

28.4.插值法和逐次逼近法相结合 183

28.5.阿达姆斯法 185

28.6.对阿达姆斯法的补充 188

29.高阶微分方程的近似积分 190

29.1.一阶微分方程组的近似积分法 190

29.2.对于二阶微分方程的折线法 192

29.3.对于二阶微分方程的龙格-库塔法 193

29.4.对于方程y″=f(x,y,y )的阿达姆斯-施特尔默尔法 194

29.5.对于方程y″=f(x,y)的阿达姆斯-施特尔默尔法 195

29.6.对于方程y″=f(x,y,y )的布里斯法 196

第二部分 边值问题和特征值问题 200

第一章 n阶线性微分方程的边值问题和特征值问题 200

1.边值问题的一般理论 200

1.1.表示法和初步注记 200

1.2.边值问题的可解性条件 202

1.3.共轭边值问题 203

1.4.自共轭边值问题 206

1.5.格林函数 207

1.6.借助于格林函数解非齐次边值问题 209

1.7.广义的格林函数 210

2.方程？fr(x)y(v)+λg(x)y=f(x)的边值问题和特征值问题 211

2.1.特征值和特征函数；特征行列式Δ(λ) 213

2.2.共轭特征值问题和格林豫解式；完备双正交系 215

2.3.标准化的边界条件；正则特征值问题 217

2.4.正则和非正则特征值问题的特征值 219

2.5.给定的函数按正则和非正则特征值问题的特征函数之展开 220

2.6.标准的自共轭特征值问题 222

2.7.关于弗雷德霍姆型积分方程 226

2.8.边值问题和弗雷德霍姆型积分方程之间的联系 232

2.9.特征值问题和弗雷德霍姆型积分方程之间的联系 233

2.10.关于沃尔泰拉型积分方程 235

2.11.边值问题和沃尔泰拉型积分方程之间的联系 236

2.12.特征值问题和沃尔泰拉型积分方程之间的联系 237

2.13.特征值问题和变分法之间的联系 239

2.14.按特征函数展开的应用 242

2.15.几点补充说明 243

3.特征值问题和边值问题的近似解法 248

3.1.里兹-伽辽金近似方法 248

3.2.格拉梅尔近似方法 250

3.3.用里兹-伽辽金方法解非齐次边值问题 251

3.4.逐次逼近法 252

3.5.应用有限差分法近似求解边值问题和特征值问题 254

3.6.扰动方法 258

3.7.特征值的估值 261

3.8.计算特征值和特征函数几种方法的综述 265

4.对于方程F(y)=λG(y)的自共轭特征值问题 267

4.1.问题的提法 267

4.2.一般的初步注记 269

4.3.标准的特征值问题 270

4.4.正定的特征值问题 271

4.5.按特征函数的展开 275

5.更一般形式的边界条件和附加条件 278

第二章 线性微分方程组的边值问题和特征值问题 281

6.线性微分方程组的边值问题和特征值问题 281

6.1.表示法和可解性条件 281

6.2.共轭边值问题 283

6.3.格林矩阵 284

6.4.特征值问题 285

6.5.自共轭特征值问题 287

7.一阶问题 290

7.1.线性问题 290

第三章 低阶方程的边值问题和特征值问题 290

7.2.非线性问题 291

8.二阶线性边值问题 292

8.1.一般注记 292

8.2.格林函数 293

8.3.第一类边值问题解的估值 293

8.4.当？→∞时的边界条件 294

8.5.求周期解 294

8.6.一个同研究流体流动有关的边值问题 295

9.二阶线性特征值问题 296

9.1.一般注记 296

9.2.自共轭特征值问题 298

9.3.y =F(x,λ)z,z =-G(x,λ)y,边界条件是自共轭的 303

9.4.特征值问题和变分原理 306

9.5.特征值和特征函数的实际计算 308

9.6.不一定是自共轭的特征值问题 309

9.7.更一般形式的附加条件 312

9.8.含有多个参数的特征值问题 314

9.9.在边界点具有奇异性的微分方程 315

9.10.无限区间上的特征值问题 316

10.二阶非线性边值问题和特征值问题 317

10.1.对于有限区间的边值问题 317

10.2.对于半无限区间的边值问题 321

10.3.特征值问题 322

11.三阶至八阶边值问题和特征值问题 324

11.1.三阶线性特征值问题 324

11.2.四阶线性特征值问题 325

11.3.两个二阶微分方程组成的方程组的线性问题 328

11.4.四阶非线性边值问题 329

11.5.更高阶的特征值问题 330

第三部分 各种微分方程 332

几点说明 332

第一章 一阶微分方程 339

1-367.对于y 的一次微分方程 339

368-517.对于y 的二次微分方程 430

518-544.对于y 的三次微分方程 438

545-576.更一般形式的微分方程 444

1-90.ay″+… 453

第二章 二阶线性微分方程 453

91-145.(ax+b)y″+… 489

146-221.x2y″+… 508

222-250.(x2±a2)y″+… 531

251-303.(ax2+bx+c)y″+… 546

304-341.(ax3+…)y″+… 573

342-396.(ax4+…)y″+… 585

397-410.(axn+…)y″+…；n≥5 598

411-445.其他的微分方程 607

第三章 三阶线性微分方程 616

第四章 四阶线性微分方程 635

第五章 五阶和更高阶的线性微分方程 653

第六章 二阶非线性微分方程 657

1-72.ay″=F(x,y,y ) 657

73-103.f(x)y″=F(x,y,y ) 679

104-187.f(x)yy″=F(x,y,y ) 691

188-225.f(x,y)y″=F(x,y,y′) 711

226-249.其他的微分方程 721

第七章 三阶和更高阶的非线性微分方程 728

1-18.两个一阶常系数微分方程的方程组 735

第八章 线性微分方程组 735

19-25.两个一阶变系数微分方程的方程组 741

26-43.两个高于一阶的微分方程的方程组 743

44-57.多于两个微分方程的方程组 748

第九章 非线性微分方程组 753

1-17.两个微分方程的方程组 753

18-29.多于两个微分方程的方程组 759

二阶线性齐次方程的解法(J.兹伯尔尼克) 763

附录 763

对E.卡姆克一书的补充(D.米特里诺维奇) 775

关于一个一阶微分方程(D.米特里诺维奇) 792

线性微分方程可分解的情况(D.米特里诺维奇) 793

关于微分方程yy″+f(x)y2=ψ(x)的积分法(T.列寇) 795

线性微分方程的分类和利用递推公式构造其通解的新方法(J.兹伯尔尼克) 798

参考文献中采用的缩写 802

部分外国人姓氏中外文对照表 813

题目索引 815