常微分方程及其数值解法PDF电子书下载

第一章 结论 1

1.1 引言 1

1.2 一些常见的微分方程问题 3

1.3 基本概念 14

习题 19

第二章 微分方程的初等解法 22

2.1 变量分离方程与变量替换 22

2.1.1 变量分离方程 22

2.1.2 可化为变量分离的方程 27

2.2 恰当方程及积分因子 34

2.2.1 恰当方程 34

2.2.2 积分因子 39

2.3 一阶线性方程及有关方程 43

2.3.1 一阶线性方程的解法 43

2.3.2 线性方程的性质 46

2.3.3 可化为线性方程的方程 47

2.4 一阶隐式方程 50

2.4.1 可解出y或x的方程 50

2.4.2 不显含y或x的方程 54

2.5 高阶方程的降阶法 56

习题 61

第三章 常微分方程的一般理论 66

3.1 初值问题解的存在唯一性定理和逐步逼近法 67

3.1.1 存在唯一性定理 67

3.1.2 近似计算和误差估计 79

3.2 解的延拓 80

3.3 解对初值和参数的连续性和可微性 85

3.4.1 一阶显式方程的奇解 93

3.4 奇解与包络 93

3.4.2 p判别曲线 94

3.4.3 包络与奇解 96

习题 99

第四章 一阶线性微分方程组与高阶线性微分方程 102

4.1 引言 102

4.1.1 记号和定义 102

4.1.2 化n阶级性微分方程为一阶线性微分方程组 105

4.2 存在唯一性定理 110

4.2.1 予备知识 110

4.2.2 存在唯一性定理 111

4.3 一阶线性微分方程组解的基本理论 113

4.3.1 齐次一阶线性微分方程组 113

4.3.2 非齐次一阶线性微分方程组 119

4.3.3 高阶级性微分方程 123

4.4 常系数高阶线性方程的解法 128

4.4.1 齐次n阶常系数线性方程和欧拉(Euler)方程 128

4.4.2 非齐次n阶常系数线性微分方程 134

4.5.1 矩阵指数expA的定义和性质 139

4.5 常系数线性方程组的解法 139

4.5.2 齐次常系数线性方程组基解矩阵的计算 141

4.5.3 非齐次常系数线性方程组 154

4.6 二阶变系数线性方程 157

4.6.1 降价法 157

4.6.2 级数解法 158

习题 165

第五章 常微分方程的数值解法 171

5.1 引言 171

5.2.1 欧拉方法和它的几何意义 173

5.2 欧拉方法 173

5.2.2 数值方法的误差、欧拉方法离散误差的估计 176

5.2.3 收敛性与稳定性 182

5.3 高阶单步法 184

5.3.1 台劳展开方法 184

5.3.2 龙格--库塔方法 186

5.3.3 高阶单步方法的收敛性、稳定性和相容性 193

5.4 线性多步方法 195

5.4.1 阿当斯方法 196

5.4.2 用待定系数法确定线性多步法 202

5.4.3 予估--校正法 208

5.5 线性多步法的进一步讨论 212

5.5.1 收敛性、稳定性和相容性 212

5.5.2 绝对稳定性 214

5.5.3 李查德森外推法 221

5.5.4 关于方法阶和步长的选择 225

习题 226

附录Ⅰ 拉普拉斯变换及其应用 230

附录Ⅱ 拉谱拉斯变换表 240

习题答案 241