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目录 1

第一章 基本概念 1

1 1 约束及其分类 2

1.1.1 约束 2

1.1.2 约束的分类 5

1.2 广义坐标 17

1.3 准速度与准坐标 23

1.4 位形空间与状态空间 30

1.4.1 位形空间 30

1.4.2 状态空间 34

1.5 可能位移、实位移、虚位移 37

1.5.1 可能位移 37

1.5.2 实位移 38

1.5.3 虚位移 38

1.5.4 以准坐标变分表示虚位移 43

1.5.5 自由度 44

1.6 理想约束 45

1.6.1 约束力 45

1.6.2 几种常见约束及其约束力的虚功 46

1.6.3 理想约束 49

1.6.4 第一类Lagrange方程 51

1.7 动能、主动力的虚功及势能 52

1.7.1 动能 52

1.7.2 主动力的虚功 60

1.7.3 势能 63

1.8 动力学普遍方程（d′Alembert-Lagrange原理） 69

第二章 Lagrange力学（一） 82

2.1 第二类Lagrange方程 82

2.1.1 第二类Lagrange方程的一般形式 82

2.1.2 Lagrange函数及有势系统的Lagrange方程 85

2.2 广义势及带电质点在电磁场中的运动 92

2.3 约束力的求法 94

2.4 能量积分 96

2.5 系统总能量的变化，陀螺力和耗散力 101

2.5.1 总机械能的变化 101

2.5.2 陀螺力 102

2.5.3 与非定常约束有关的广义陀螺力 104

2.5.4 扰动微分方程中的广义陀螺力 109

2.5.5 耗散力及耗散函数 113

2.6 循环积分 118

2.7 Noetther定理 124

2.8 Lagrange方程的降阶 130

2.8.1 Whittaker方程——利用广义能量积分降阶 131

2.8.2 Legendre变换 134

2.8.3 Routh变换与Routh方程——利用循环积分降阶 136

2.9 保守系统的微振动理论 143

2.9.1 平衡位置的稳定性 143

2.9.2 稳定平衡位置附近的微振动 144

2.9.3 主振型向量的正交性 148

2.9.4 主振型矩阵，主坐标变换 150

2.9.5 系统对外扰力的响应 156

2.10 保守陀螺系统的微振动 157

2.11 几个具体的工程系统动力学问题 164

2.11.1 陀螺摆的动力学问题 164

2.11.2 带有单圆盘的旋转轴的振动问题 169

2.11.3 圆形限制三体问题 175

2.11.4 轨道卫星的姿态运动问题 180

第三章 Lagrange力学（二） 199

3.1 碰撞问题的Lagrange方程 199

3.2.1 Euler-Lagrange方程 205

3.2 以准坐标表示的运动方程——Euler-Lagrange方程 205

3.2.2 三标记号的求法 210

3.2.3 自由刚体的运动微分方程 211

3.3 载体-被载系统的运动微分方程 217

3.3.1 载体的运动微分方程 218

3.3.2 被载系统的相对运动微分方程 223

3.4 变质量系统的Lagrange方程 239

3.5 带有柔性部件的系统动力学方程 248

3.5.1 柔性部件的力学模型及动力学方程 248

3.5.2 带有柔性部件的载体动力学方程 253

3.6 机电系统的Lagrange-Maxwell方程 266

3.6.1 电路系统的广义回路及基本方程 267

3.6.2 驱动力的确定及Lagrange-Maxwell方程 273

第四章 Hamilton力学 297

4.1 Hamilton正则方程 298

4.1.1 Lagrange系统的正则方程 298

4.1.2 任意系统的正则方程 306

4.2 Hamilton函数的物理意义及正则方程的首次积分 307

4.2.1 Hamilton函数的物理意义 307

4.2.3 循环积分 308

4.2.2 能量积分 308

4.3 正则方程的降阶 309

4.3.1 利用能量积分降阶 309

4.3.2 利用循环积分降阶 311

4.4 Poisson括号与Lagrange括号 315

4.4.1 Poisson括号 315

4.4.2 Jacobi-Poisson定理 317

4.4.3 Lagrange括号 319

4.5.1 正则变换的定义 321

4.5 正则变换 321

4.5.2 dδf＝δdf 322

4.5.3 正则变换的判别定理 324

4.6 正则变换的一些重要性质 327

4.7 生成函数 333

4.7.1 生成函数的简单方案 333

4.7.2 生成函数的一般方案 339

4.8 Hamilton-Jacobi方程 340

4.8.1 Hamilton-Jacobi方程 340

4.8.2 Hamilton-Jacobi定理 344

4.9.1 H不显含时间t的情况 345

4.9 几种特殊情况下Hamilton-Jacobi方程的求解 345

4.9.2 存在循环坐标的情况 346

4.9.3 可分离变量的情况 347

4.10 正则摄动理论 357

第五章 力学的变分原理 365

5.1 变分原理概述 365

5.2 非完整约束条件下的虚位移的定义 368

5.2.1 一阶约束情形 369

5.2.2 高阶约束的情形 371

5.3.1 Mangeron原理 374

5.3 微分变分原理 374

5.3.2 Jourdain原理 375

5.3.3 Gauss原理 376

5.4 微分-变分交换关系 378

5.4.1 问题的提出 378

5.4.2 H？lder定义的交换关系 379

5.4.3 Суслов定义的交换关系 381

5.5 Hamilton原理 383

5.5.1 变分法导引 383

5.5.2 Hamilton原理的一般形式 388

5.5.3 完整系统的Hamilton原理 392

5.5.4 非完整系统的Hamilton原理 394

5.6 Hamilton原理与正则方程及正则变换的关系 398

5.6.1 由Hamilton原理推导正则方程 398

5.6.2 由Hamilton原理建立正则变换 403

5.7 Hamilton作用量的极值性质 405

5.8 基于变分原理的直接解法 407

5.8.1 基于Hamilton原理的直接解法 408

5.8.2 变时间端点下的Hamilton原理及应用 416

5.8.3 基于广义Helmholtz原理的直接解法 420

5.8.4 基于微分原理的直接解法 427

5.9 最小作用量原理 433

5.10 变分原理在连续体动力学中的推广及应用 440

5.10.1 线弹性动力学的时域微分原理 441

5.10.2 线弹性动力学的时域积分原理 444

5.11 变质量系统的Hamilton原理 457

第六章 非完整系统动力学 466

6.1 引言 466

6.2 Routh方程 467

6.3 关于非完整系统中准速度及准坐标 473

6.3.1 准速度的变分 473

6.3.2 准坐标的变分 475

6.3.3 函数对准速度及对准坐标的导数 476

6.4 Чаплыгин方程 477

6.4.1 广义Чаплыгин方程 478

6.4.2 Чаплыгин方程 481

6.5 Boltzmann-Hamel方程 495

6.5.1 一阶非线性非完整系统的Boltzmann-Hamel方程 495

6.5.2 一阶线性非完整系统的Boltzmann-Hamel方程 497

6.5.3 γ？k及ε？的求法 499

6.5.4 关于广义Чаплыгин方程与Boltzmann-Hamel方程的讨论 511

6.6.1 Appell形式的Jourdain原理 515

6.6 Appell方程 515

6.6.2 Appell方程 516

6.6.3 Appell函数 519

6.7 建立动力学方程的Kane方法 529

6.7.1 Kane方法概要 530

6.7.2 刚体中的广义主动力和广义惯性力 533

6.8 再论非完整系统动力学的积分变分原理 543

习题答案 554

参考文献 571

索引 574