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第六章 度量空间 1

6.1 度量空间的定义及例 1

6.1.1 度量空间的定义 1

6.1.2 度量空间中的极限 3

6.1.3 度量空间的例 4

习题6.1. 11

6.2 赋范线性空间的定义及例 12

6.2.1 线性空间 12

6.2.2 赋范线性空间 16

6.2.3 线性空间上的等价范数 26

习题6.2 27

6.3.1 度量空间中的点集 29

6.3 度量空间中的点集及连续映射 29

6.3.2 连续映射 34

习题6.3 37

6.4 稠密性与可分性 38

6.4.1 稠密集与疏朗集 38

6.4.2 可分集 41

习题6.4 44

6.5 完备性 45

6.5.1 完备度量空间的概念及例 45

6.5.2 完备度量空间的两上性质 50

6.5.3 度量空间的完备化 52

习题6.5 58

6.6 压缩映射原理 58

6.6.1 压缩映射原理 58

6.6.2 压缩映射原理的应用 61

习题6.6 63

6.7 列紧性 64

6.7.1 列紧集和完全有界集 64

6.7.2 C〔a，b〕及Lp〔a，b〕(1

6.7.3 紧集及紧集上的连续映射 75

习题6.7 78

6.8 有限维赋范线性空间 79

6.8.1 有限维线性空间 79

6.8.2 有限维赋范线性空间 79

习题6.8 85

第七章 线性算子与线性泛函 86

7.1 线性算子(泛函)的概念及有界性 86

7.1.1 线性算子与线性泛函的定义 86

7.1.2 线性算子的有界性连续性 89

7.1.3 线性算子空间 97

7.1.4 有界线性算子空间 98

习题7.1 100

7.2 Hahn-Banach泛函延拓定理 102

7.2.1 线性泛函的延拓定理 102

7.2.2 几何形式--凸集分离定理 111

习题7.2 118

7.3 几个常用空间上连续线性泛函的表示 119

7.3.1 C〔a，b〕上连续线性泛函的表示 120

7.3.2 Lp〔a，b〕(1≤p<+∞)上连续线性泛函的表示 124

7.3.3 Lp(1≤p<+∞)上连续线性泛函的表示 131

习题7.3 134

7.4 逆算子定理、闭图象定理和共鸣定理 134

7.4.1 逆算子和正则算子 135

7.4.2 开映射定理和逆算子定理 137

7.4.3 闭图象定理 141

7.4.4 共鸣定理 143

习题7.4. 148

7.5 自反空间与共轭算子 150

7.5.1 二次共轭空间与自反空间 150

7.5.2 共轭算子 153

习题7.5 158

7.6 弱收敛和弱列紧性 160

7.6.1 算子列的一致、强、弱收敛 160

7.6.2 泛函列的弱收敛与向量列的弱收敛 162

7.6.3 弱列紧性与弱列紧性 166

习题7.6 169

8.1.1 内积空间的定义及特征 171

第八章 内积空间和Hilbert空间 171

8.1 内积空间的基本概念和性质 171

8.1.2 正交与正交分解 179

8.1.3 标准正交系 182

8.1.4 线性无关向量系的正交化 193

8.1.5 可分Hilbert空间的模型 196

习题8.1 197

8.2 Riesz表示定理 199

8.2.1 Hilbert空间上连续线性泛函的表示 199

8.2.2 Hilbert空间的“自共轭性” 200

8.2.3 Hilbert空间上连续共轭双线性泛函的表示 201

习题8.2 206

8.3.1 Hilbert共轭算子 207

8.3 Hilbert空间上的几种有界线性算子 207

8.3.2 自共轭算子 212

8.3.3 投影算子 215

8.3.4 正算子 218

8.3.5 正常算子 223

8.3.6 酉算子 224

习题8.3 225

第九章 线性算子的谱 228

9.1 有界线性算子的谱 228

9.1.1 谱的概念 228

9.1.2 有界线性算子的谱性质 231

9.2 全连续算子的谱 236

9.2.1 全连续算子的定义和基本性质 236

习题9.1 236

9.2.2 全连续算子的谱 241

习题9.2 247

9.3 自共轭算子的谱 248

9.3.1 自共轭算子的谱性质 248

9.3.2 例 253

习题9.3 254

9.4 自共轭全连续算子的谱分解 254

9.4.1 自共轭全连续算子的谱分解 254

9.4.2 应用 260

习题*9.4 263

参考文献 265

符号索引 266

索引 269