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第一章 曲线论 1

1 向量代数复习 1

2 向量函数 10

2.1 向量函数的极限 10

2.2 向量函数的连续性 13

2.3 向量函数的微商 13

2.4 向量函数的泰勒(Taylor)公式 16

2.5 向量函数的积分 17

3.1 曲线的概念 22

3 曲线的概念 22

3.2 光滑曲线 曲线的正常点 25

3.3 曲线的切线和法面 27

3.4 曲线的弧长 自然参数 31

4 空间曲线 37

4.1 空间曲线的密切平面 38

4.2 空间曲线的基本三棱形 41

4.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式 45

4.4 空间曲线在一点邻近的结构 52

4.5 空间曲线论的基本定理 56

5.1 平面曲线 60

5 特列曲线 60

(1) 平面曲线的伏雷内标架 61

(2) 平面曲线的曲率、曲率半径、曲率中心及曲率圆 62

(3) 平面曲线的伏雷内公式 69

(4) 平面曲线在一点邻近的结构 71

(5) 平面曲线的渐缩线和渐伸线 73

5.2 一般螺线 78

5.3 贝特朗(Bertrand)曲线 81

1 曲面的概念 87

1.1 简单曲面及其参数表示 87

第二章 曲面论 87

1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 90

1.3 曲面上的曲线族和曲线网 96

2 曲面的第一基本形式 98

2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 98

2.2 曲面上两方向的交角 101

2.3 正交曲线族和正交轨线 103

2.4 曲面域的面积 104

2.5 等距变换 105

2.6 保角变换 108

3 曲面的第二基本形式 111

3.1 曲面的第二基本形式 111

3.2 曲面上曲线的曲率 117

3.3 杜邦(Dupin)指标线 121

3.4 曲面的渐近方向和共轭方向 122

3.5 曲面的主方向和曲率线 125

3.6 曲面的主曲率、高斯(Gauss)曲率和平均曲率 129

3.7 曲面在一点邻近的结构 135

3.8 高斯曲率的几何意义 139

4 直纹面和可展曲面 145

4.1 直纹面 145

4.2 可展曲面 150

5 曲面论的基本定理 159

5.1 曲面的基本方程和克里斯托斐耳(Christoffel)符号 160

5.2 曲面的黎曼(Riemann)曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪Gauss-Codazzi-Mainardi)公式 163

5.3 曲面论的基本定理 168

6 曲面上的测地线 174

6.1 曲面上曲线的测地曲率 174

6.2 曲面上的测地线 177

6.3 曲面上的半测地坐标网 179

6.4 曲面上测地线的短程性 181

6.5 高斯-波涅(Gauss-Bonnet)公式 184

6.6 曲面上向量的平行移动 187

6.7 极小曲面 193

7 常高斯曲率的曲面 198

7.1 常高斯曲率的曲面 198

7.2 伪球面 199

7.3 罗氏几何 204

第三章 外微分形式和活动标架 209

1 外微分形式 209

1.1 格拉斯曼(Grassmann)代数 209

1.2 外微分形式 214

1.3 弗罗皮尼斯(Frobenius)定理 224

2.1 合同变换群 239

2 活动标架 239

2.2 活动标架 242

2.3 活动标架法 252

3 用活动标架法研究曲面 255

3.1 曲面论的基本定理 255

3.2 曲面的第一和第二基本形式 256

3.3 曲面上的曲线 法曲率 测地曲率和测地挠率 257

3.4 曲面的主曲率 欧拉公式 高斯曲率和平均曲率 260

3.5 曲面上的平行移动 262

3.6 高斯-波涅公式 265

3.7 闭曲面的欧拉示性数 267