解析几何学 第2卷PDF电子书下载

第三部分 空间解析几何 1

124. 引论：曲面方程 1

1. 在笛卡儿坐标中由方程表示的曲面，例 1

2. 柱面 2

3. 锥面 3

4. 旋转曲面 3

5. 在笛卡儿坐标变换下曲面方程的变换 4

6. 曲面的分类 5

7. 平面截曲面的截线 5

8. 曲面的水平线图 6

第六章 空间中的平面和直线 7

第一篇 空间中的平面 7

125. 平面，作为一阶曲面 7

126. 表示同一个平面的一次方程 10

127. 按方程作平面 11

128. 按各种已知条件求平面的方程 14

1. 已知在一条坐标轴上的截距和在通过该轴的两个坐标平面上的截痕的斜率 14

2. 已知一个点和与平面共面的两个不共线的向量 14

3. 已知三个点 15

4. 已知在坐标轴上的三个截距 16

129. 平面的参数方程 17

130. 把点的坐标代入平面方程左端的结果 18

1. 线性表达式Ax+By+Cz+D的正负号的几何意义 18

2. 线性不等式的几何意义 19

3. 线性表达式Ax+By+Cz+D的绝对值的几何意义 19

4. 线段被平面所分成的比值，已知新坐标平面的方程求笛卡儿坐标变换 20

5. 平面方程法化的问题 21

131. 空间中平面的倾斜度 21

1. 法化因子 22

132. 平面方程的法化。从点到平面的距离 22

2. 平面的法化方程。从点到平面的距离 23

3. 向量(A，B，C)作为线性函数Ax+By+Cz+D的梯度 24

4. 在一般笛卡儿坐标系统中平面方程的法化 24

5. 平面方程的海色法式 24

133. 空间中两个平面的相互位置的三种可能情形。两个平面平行的条件 25

134. 两个平面之间的角 27

135. 平面束 28

136. 三个平面的相互位置的八种可能情形 29

137. 平面把 31

第二篇 空间中的直线 33

138. 空间中直线的方程 33

1. 经过已知点朝着已知方向的直线的参数方程 33

2. 直线的标准方程 34

3. 直线的法化方程 36

4. 直线的归范方程 37

5. 直线的普遍方程 38

139. 空间中两条直线的相互位置 41

140. 点到直线的距离 42

141. 两条直线之间的角和距离 43

1. 两条直线之间的角。两条直线的垂直条件 43

2. 两条直线之间的距离 44

第三篇 空间中的平面和直线 46

142. 空间中平面和直线的相互位置 46

143. 平面和直线之间的角。平面和直线的垂直条件 47

1. 平面和直线之间的角 48

2. 在直角坐标中平面和直线的垂直条件 49

144. 关于寻求平面方程和直线方程的几个问题 50

第七章 椭圆面，双曲面，抛物面 56

第一篇 在标准坐标系统中的椭圆面，双曲面和抛物面 58

145. 椭圆面的标准方程和普遍形状 58

1. 椭圆面的标准方程 58

2. 椭圆面的对称平面，对称轴和对称中心 58

3. 椭圆面的普遍形状 58

4. 扁的和长的旋转椭圆面，球面 60

146. 双曲面和二阶锥面的标准方程和普遍形状 60

1. 双曲面的标准方程 60

2. 双曲面的对称平面，对称轴和对称中心 61

3. 单叶双曲面的普遍形状 61

4. 双叶双曲面的普遍形状 62

5. 单叶和双叶旋转双曲面 63

6. 二阶锥面 64

7. 共渐近锥面的双曲面族 65

147. 抛物面的标准方程和普遍形状 66

1. 抛物面的标准方程 66

2. 抛物面的对称平面和对称轴 66

3. 椭圆抛物面的普遍形状 66

4. 双曲抛物面的普遍形状 68

148. 二阶曲面的直母线 70

1. 单叶双曲面的直母线 72

2. 双曲抛物面的直母线 78

3. 二阶锥面的直母线 82

4. 二阶柱面的直母线 82

5. 经过任意三条两两相错的直线的二阶曲面的作图法 83

149. 二阶曲面的图形截线 83

1. 预备知识 84

2. 椭圆面，双曲面，二阶锥面，椭圆抛物面和椭圆柱面的图形截线 84

3. 脐点 89

4. 其他二阶曲面的图形截线 90

第二篇 椭圆面(几何理论) 90

150. 椭圆面的仿射性质 91

1. 椭圆面作为任意球面的仿射像 91

2. 椭圆面的中心 91

3. 椭圆面的径平面 91

4. 平面截椭圆面的截线 92

5. 椭圆面的直径 92

6. 椭圆面的共轭的直径和径平面 93

7. 椭圆面的共轭的三条直径和共轭的三个径平面 93

8. 把椭圆面变成自己的仿射变换 94

151. 椭圆面的一些度量性质 96

1. 椭圆面作为单位球面经过三个互相垂直的“压缩”的结果 96

2. 球面，扁的和长的旋转椭圆面，一般椭圆面 97

3. 把单位半径的球面变成已知椭圆面的“压缩”系数的几何意义 99

4. 椭圆面的三条主直径的组 100

5. 空间仿射变换的主方向 101

6. 椭圆面的三条主直径作为互相垂直的三条对称轴 102

7. 椭圆面的旋转轴 103

8. 椭圆面的对称平面 104

9. 椭圆面的圆形截线 104

10. 椭圆面的标准方程 106

第三篇 双曲面(几何理论) 107

152. 共渐近锥面的双曲面族 107

1. 等边的单叶和双叶的旋转双曲面以及正圆锥面 107

2. 双曲面的中心 110

3. 渐近锥面 110

153. 空间的双曲旋转 111

1. 正双曲旋转 111

2. 关于在正双曲旋转下直线和平面的变换的引理 112

1. 双曲面和二阶锥面的平面截线，双曲面的直径 114

154. 双曲面的仿射性质 114

2. 双曲面的径平面 117

3. 双曲面的共轭的直径和径平面 119

4. 双曲面的共轭的三条直径和共轭的三个径平面 119

5. 单叶双曲面的直母线 120

6. 双曲面的几何定义 124

7. 把双曲面变成自己的任意仿射变换 125

8. 把双曲面变成自己的仿射变换的分解成初等的旋转 126

155. 双曲面的一些度量性质 127

1. 二阶锥面作为正椭圆锥面 127

2. 锥面和渐近于它的双曲面的贯轴 128

3. 双叶双曲面的顶点，单叶双曲面的腰椭圆和顶点 129

5. 双曲面的三条主直径作为互相垂直的三条对称轴 130

4. 双曲面的三条主直径的组 130

6. 双曲面的对称平面 131

7. 双曲面和二阶锥面的圆形截线 131

8. 双曲面的标准方程 132

第四篇 抛物面(几何理论) 133

156. 把抛物面变成自己的仿射变换 134

1. 抛物旋转 134

2. 把旋转抛物面变成自己的椭圆旋转 136

3. 把等边双曲抛物面变成自己的双曲旋转 137

4. 在把抛物面变成自己的仿射变换下，关于直线和平面的变换的引理 138

157. 抛物面的仿射性质 140

1. 椭圆抛物面的平面截线和直径 140

2. 双曲抛物面的平面截线和直径 141

3. 椭圆抛物面的径平面 143

4. 双曲抛物面的径平面 144

5. 双曲抛物面的直母线 145

6. 把抛物面变成自己的任意的仿射变换 147

158. 抛物面的一些度量性质 149

1. 抛物面的主直径(轴)和主径平面 149

2. 抛物面的对称平面 150

3. 抛物面的对称轴 151

4. 椭圆抛物面的圆形截线 154

5. 抛物面的标准方程 156

第八章 二阶曲面的一般理论 158

第一篇 二阶曲面利用配平方法的仿射分类 158

159. 用配平方的方法把带三个变数的二次多项式化成最简单的形状 158

160. 二阶曲面的仿射分类 163

1. 二阶曲面的十五个仿射类 163

2. 归范多项式的仿射不等价性 167

第二篇 二阶曲面的归范方程，标准方程和仿射分类 168

161. 利用变数的正交变换把三元二次形式变成平方和 169

162. 利用变数的正交变换把带三个变数的二次多项式变成归范多项式和标准多项式 172

1. 变成归范多项式 172

2. 整理成标准形状 175

163. 二阶曲面的仿射分类 178

1. 在直角坐标里由标准方程表达的二阶曲面 178

2. 由同样形状的标准方程表达的二阶曲面的仿射等价性 180

3. 由不同形状的标准方程表达的二阶非零曲面的仿射不等价性 181

4. 二阶曲面的仿射类 182

第三篇 二阶曲面标准方程的参数利用不变量的计算法 183

164. 带三个变数的二次多项式的前三个不变量 183

165. 带三个变数的二次多项式的第四个不变量 187

166. 半不变量 189

168. 归范多项式的系数通过不变量和半不变量的计算法 193

167. 带三个变数的二次多项式的归范类型通过不变量和半不变量的检验法 193

169. 二阶曲面的类和它的标准方程利用不变量的决定法，总表 201

170. 球面方程的检验法 204

第四篇 在复三维空间里的二阶曲面 206

171. 关于复三维空间 206

1. 定义 206

2. 用两个点规定直线。直线的方向向量 208

3. 向量和平面的平行性。三个向量共面的检验法 209

4. 通过一个已知点平行于两个不共线的已知向量的平面的方程 210

5. 两个平面的相互位置 212

6. 平面和直线的相互位置 213

7. 两条直线的相互位置 214

8. 在空间中用方向向量坐标的比值来给定方向 217

9. 变换成新的笛卡儿坐标 218

10. 仿射变换 219

172. 二阶曲面与直线的交点 220

1. 二阶曲面和直线的公共点的决定 220

2. 渐近方向和非渐近方向 223

3. 渐近方向的锥面 225

173. 二阶曲面的中心 227

1. 决定中心的方程 227

2. 中心二阶曲面和非中心二阶曲面 229

3. 把坐标原点移到中心 231

174. 二阶锥面 232

1. 渐近锥面 232

2. 以坐标原点作为顶点的二阶锥面的普遍方程 232

3. 包含着自己的中心的二阶曲面 232

4. 二阶锥面分解成一对平面的条件 233

5. 二阶曲面的秩 235

7. 二阶锥面与通过顶点的平面的相交 236

6. 二次形式的秩 236

1. 与已知的非渐近方向共轭的径平面 237

175. 二阶曲面的径平面 237

2. 奇异方向 238

3. 与非奇异的渐近方向共轭的径平面 241

4. 两个径平面平行的检验法 241

5. 径平面束 242

6. 中心二阶曲面的径平面 242

7. 有中心直线的曲面的径平面 243

8. 抛物面的径平面 244

9. 秩1的曲面的径平面 245

10. 共轭方向 246

176. 实二阶曲面的主方向和主径平面 247

1. 主方向 247

3. 特征方程的根和主方向 248

2. 特征方程 248

4. 特征方程根的重数的检验法 252

5. 主径平面 252

6. 秩1的曲面的主径平面 254

177. 二阶曲面的直径 255

1. 二阶曲面的平面截线 255

2. 二阶曲面的中心平面截线 255

3. 直径 256

4. 中心二阶曲面的直径 257

5. 秩2的曲面的直径 258

6. 实二阶曲面的主直径 259

178. 二阶曲面的切平面和直母线 259

1. 切平面 259

2. 曲面与切平面的交线 261

3. 不可分解的二阶曲面的直母线 262

4. 通过曲面上给定的非奇异点的母线的求法 266

5. 不可分解的二阶锥面的切平面 266

6. 非锥状的中心二阶曲面的切平面和直母线 266

7. 抛物面的切平面和直母线 268

8. 有中心直线的曲面的切平面和直母线 269

9. 秩1的曲面的切平面和直母线 270

10. 实二阶曲面的椭圆点，双曲点和抛物点 270

179. 二阶曲面的归范方程和仿射分类 273

1. 二阶曲面的归范方程 273

2. 复三维空间中复二阶曲面的仿射分类 276

3. 复三维空间中实二阶曲面的仿射分类 277

第四部分 射影平面上和射影空间中的解析几何 281

第九章 射影平面上的解析几何 281

1. 透视射影和过渡到射影平面的必要性 282

180. 射影平面 282

第一篇 射影平面、射影映射(几何理论) 282

2. 用假元素补充欧几里得平面 283

3. 射影平面 286

4. 射影平面上点和直线的关联性 287

181. 射影映射 288

1. 射影映射的定义和最简单的性质 288

2. 透视射影作为射影映射 289

3. 把的射影映射和欧几里得平面的仿射映射之间的联系 292

4. 关于射影映射的第一基本定理 293

5. 关于射影映射的第二基本定理 295

6. 在把的射影映射和空间的仿射变换之间的联系 297

7. 射影变换群 300

8. 射影的概念和性质 300

9. 欧几里得平面的仿射变换群，作为射影平面的射影变换群的子群 301

1. 欧几里得平面上共直线的三个点的仿射不变量 302

182. 共直线的四个点和共束的四条直线的射影不变量。射影的顺序关系 302

2. 射影平面上不共直线的四个点 303

3. 把里四条共面直线的射影不变量 304

4. 把里属于同一个平面束的四个平面的射影不变量 306

5. 射影平面上共直线的四个点和属于同一个束的四条直线的射影不变量 307

6. 直线上四个真点的二重比值 310

7. 真束的四条直线的二重比值 312

8. 直线上和束中的射影的顺序关系 314

9. 调和分离 317

183. 射影平面上的对偶原则 318

1. 对射变换 318

2. 对偶原则 321

3. 帕普定理 322

1. 直线把中的射影坐标 324

184. 射影平面上的射影坐标 324

第二篇 射影坐标、一阶和二阶曲线 324

2. 补充子假元素的欧几里得平面上的射影坐标 326

3. 三线坐标 327

4. 三个点共直线的条件 328

5. 射影坐标系统的基点 329

6. 齐次坐标 330

7. 非齐次射影坐标 333

185. 射影坐标的变换公式和射影变换的公式 336

1. 齐次射影坐标的变换公式 336

2. 非齐次射影坐标的变换公式 337

3. 射影变换的公式 337

186. 射影平面上的曲线 338

1. 由射影坐标中的方程表示的曲线 338

4. 代数曲线 339

2. 射影平面上的曲线和欧几里空间里的锥面之间的联系 339

3. 在射影坐标的变换下，射影平面上曲线方程的变换 339

187. 射影坐标里的直线 340

1. 射影坐标里直线的方程 340

2. 射影平面上通过两个已知点的直线的方程 341

3. 射影平面上直线的参数方程 341

4. 直线上的齐次和非齐次射影坐标 342

5. 直线上的射影坐标的变换公式 344

188. 射影平面上二阶曲线的射影分类 345

1. 射影平面上曲线的射影分类和空间里锥面的仿射分类之间的联系 345

2. 三元二次形式的仿射分类 345

3. 射影平面上二阶曲线的五个射影类 347

189. 二阶曲线的仿射射影分类 349

1. 补充了假元素的欧几里得平面上的卵状二阶曲线 349

2. 补充了假元素的欧几里得平面上的二阶曲线的十一个仿射射影类 351

190. 卵状二阶曲线的切线；内点和外点 353

1. 卵状二阶曲线与直线的相交 353

2. 卵状二阶曲线的内点和外点 355

191. 射影平面对于卵状二阶曲线的配极变换 357

1. 二阶锥面的直径和径平面 357

2. 把对于二阶锥面的配极变换 358

3. 卵状二阶曲线的极点和极线 360

4. 射影平面的配极变换 362

5. 利用切线作极线 363

6. 极线的主要几何性质 364

7. 利用第四调和点的作图来作极线 366

8. 直径作为假点的极线 367

192. 卵状二阶曲线利用处在射影对应中的两个束来形成，巴斯加定理和白良松定理 368

1. 射影直线和射影直线束的射影映射 368

9. 中心作为假直线的极点 368

2. 直线和束的透视对应 369

3. 利用两个直线束的不是透视的射影对应，来作卵状二阶曲线 371

4. 利用两个直线束的不是透视的射影对应，来作卵状二阶曲线的切线族 375

5. 巴斯加定理 376

6. 白良松定理 378

第三篇 射影平面。射影坐标。射影变换(解析理论) 378

193. 射影平面 378

1. 成比例的三数组和数偶的类 378

2. 射影平面 381

3. 两条直线的相互位置 382

4. 直线的坐标 383

5. 通过两个给定的点的直线方程。三个点共线的条件 383

6. 射影平面，作为欧几里得空间的直线和平面把 384

7. 欧几里得平面上的齐次笛卡儿坐标。射影平面作为补充了假点的欧几里得平面 385

8. 射影平面的一般概念 389

194. 射影平面上的对偶原则 390

1. 对射变换 390

2. 对偶原则 390

3. 代沙葛定理 391

4. 直线束作为共线点列的对偶像 393

195. 射影平面上的射影坐标 393

1. 射影坐标 393

2. 射影坐标系统的基点 396

3. 射影坐标的变换公式 397

4. 三线坐标 400

5. 在任意射影坐标中直线的方程 402

6. 非齐次射影坐标 403

1. 射影变换的定义和基本性质 404

196. 射影平面的射影变换 404

2. 射影的概念和性质 406

3. 射影变换的公式 406

4. 射影平面的射影变换的群 407

5. 欧几里得平面的仿射射影变换群，作为射影平面的射影变换群的子群 409

197. 直线上和直线束中的射影坐标 410

1. 直线的参数方程 410

2. 直线上的射影坐标 411

3. 直线上的非齐次射影坐标 414

4. 真直线上的齐次笛卡儿坐标 414

5. 直线上射影坐标的变换公式 416

6. 直线束中的射影坐标 417

198. 直线和直线束的射影映射 417

1. 直线的射影映射 417

2. 直线的射影变换的公式 420

3. 第一种和第二种射影变换 421

4. 直线束的射影映射 422

199. 二重比值 422

1. 共直线的四个有顺序的点的二重比值 422

2. 在直线上的射影坐标里四个点的二重比值 423

3. 共直线的四个真点的二重比值 424

4. 束中四条有顺序的直线的二重比值 425

5. 真束的四条直线的二重比值 425

6. 对偶原则的推广 427

7. 在共线点列和直线束的透视对应下二重比值的保留 427

8. 调和点组 428

200. 复射影平面 429

第四篇 射影平面上的二阶曲线 431

201. 复欧几里得平面上和复射影平面上的二阶曲线的联系 432

1. 二阶曲线和直线的公共点 434

202. 二阶曲线与直线的交点 434

2. 可分解的二阶曲线 437

203. 二重点。二阶曲线的秩 438

1. 二阶曲线的二重点 438

2. 二阶曲线的秩 440

204. 二阶曲线的切线 441

205. 二阶曲线的极点和极线 442

1. 点对于二阶曲线的调和共轭性 442

2. 极点和极线 444

3. 直径作为假点的极线 445

4. 中心作为假直线的极点 446

5. 极线的基本性质 447

6. 不可分解的二阶曲线的极点和极线 448

7. 从不在不可分解的二阶曲线上的点引向这条曲线的切线 448

8. 不可分解的实二阶曲线的外点和内点 449

9. 可分解的二阶曲线的极点和极线 450

10. 自配极三角形 451

206. 二阶曲线的射影分类 452

1. 二阶曲线对于自配极的基本坐标三角形的方程 452

2. 复二阶曲线的射影分类 453

3. 实二阶曲线的射影分类 454

4. 在固定的坐标系统中表示同一条二阶曲线的方程 456

207. 二阶曲线的仿射射影分类 458

1. 实二阶曲线的仿射射影分类 459

2. 欧几里得平面上二阶曲线的仿射分类 464

3. 复二阶曲线的仿射射影分类 465

4. 复欧几里得平面上复二阶曲线的仿射分类 466

1. 成比例的四数组的类 467

208. 射影空间 467

第一篇 射影空间。射影坐标。射影变换 467

第十章 射影空间中的解析几何 467

2. 射影空间 468

3. 矩阵的秩和齐次线性方程组中线性无关的解的个数 469

4. 三个点共线的条件 470

5. 平面和直线的相互位置 471

6. 两个平面的相互位置 472

7. 四个点共面的条件 472

8. 通过不在一条直线上的三个点的平面的方程 473

9. 平面的参数方程 474

10. 两条直线的相互位置 476

11. 欧几里得空间里的齐次笛卡儿坐标，射影空间作为补充了假点的欧几里得空间 477

209. 射影坐标 481

1. 射影空间中的射影坐标 481

2. 射影坐标系统的基点 482

3. 射影坐标的变换公式 483

4. 在空间的任意射影坐标系统里的平面和直线 484

5. 平面上和直线上的射影坐标 484

210. 射影变换 487

1. 射影空间的射影变换的定义和基本性质 487

2. 射影变换的公式 487

3. 射影空间的射影变换群 488

4. 欧几里得空间的仿射变换群作为射影空间的射影变换群的子群 488

5. 射影空间中直线的透视对应 488

211. 复射影空间 490

第二篇 射影空间中的二阶曲面 491

212. 复欧几里得空间和复射影空间的二阶曲面之间的联系 492

213. 二阶曲面与平面和直线的交点 493

1. 二阶曲面和平面的公共点。可分解的二阶曲面 493

2. 二阶曲面和直线的公共点 495

1. 二阶曲面的二重点 497

2. 二阶曲面的秩 497

214. 二重点。二阶曲面的秩 497

3. 二阶锥面 498

215. 二阶曲面的切平面和直母线 499

1. 切平面 499

2. 二阶曲面与切平面的交线 500

3. 不可分解的实二阶曲面的椭圆点，双曲点和抛物点 502

4. 二阶曲面的直母线 503

216. 二阶曲面的极点和极平面 505

1. 点对于二阶曲面的调和共轭性 505

2. 极点和极平面 506

3. 径平面作为假点的极平面。中心作为假平面的极点 506

5. 非锥状二阶曲面的极点和极平面 507

4. 极平面的基本性质 507

6. 切锥面 508

7. 自配极四面体 509

217. 二阶曲面的射影分类 511

1. 二阶曲面对于自配极的基本坐标四面体的方程 511

2. 复二阶曲面的射影分类 512

3. 实二阶曲面的射影分类 512

4. 在固定的坐标系统中表示同一个二阶曲面的方程 514

218. 二阶曲面的仿射射影分类 515

1. 实二阶曲面的仿射射影分类 516

2. 欧几里得空间中二阶曲面的仿射分类 522

3. 复二阶曲面的仿射射影分类 523

4. 复欧几里得空间中复二阶曲面的仿射分类 524

索引 525