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第一章 比较定理与梯度估计 1

1. 比较定理 1

2. 分裂(splitting)定理 14

3. 梯度估计 19

4. 具非负Ricci曲率的完备Riemann流形 27

第二章 负曲率流形上的调和函数 37

1. 几何边界S(∞)及Dirichlet问题的可解性 38

2. Harnack不等式与Poisson核 46

3. Martin边界与Martin积分表示 56

4. Harnack不等式的证明 61

5. 有关调和函数的其他存在性问题 74

6. 次调和函数与次中值公式 84

附录 整体Green函数的存在性 91

第三章 特征值问题 96

1. 特征值问题 96

2. Riemann流形的热核函数(heat kernal) 104

3. 第一特征值上界估计 115

4. 第一特征值下界估计 117

5. 高阶特征值的估计 131

6. 结点(nodal)集与特征值的重数 135

7. 关于相邻两特征值之差 141

8. 与曲面有关的特征值问题 148

第四章 Riemann流形上的热核(heat krenel) 171

1. 热方程的梯度估计 171

2. Harnack不等式与热核的估计 180

3. 热核估计的应用 196

第五章 纯量曲率的保角形变 203

1. 二维情形 206

2. Yamabe问题与保角不变量λ(M) 217

3. 保角正规坐标与Green函数的渐近展开 224

4. Yamabe问题的解决 234

附录 Sobolev不等式中的最佳常数 240

第六章 局部保角平坦流形 245

1. 保角变换与保角平坦流形 245

2. 保角不变量 259

3. 局部保角平坦流形的嵌入 277

4. 局部保角平坦流形的拓扑性质 290

5. 与偏微分方程的关系 301

参考文献 306

附录一 几何中的非线性分析 308

1. 特征值与调和函数 311

2. Yamabe方程及共形平坦流形 316

3. 调和映照 319

4. 极小子流形 323

5. Kahler几何 327

6. 复流形上的典则度量 335

附录一的参考文献 350

附录二 问题集 358

附录二的参考文献 389