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第一章 流形，微分流形与微分形式 1

1.1 流形，流形的拓扑结构 1

1.2 微分流形，流形的微分结构 7

1.3 切空间与切向量场 16

1.4 余切空间与余切向量场 22

1.5 多线性代数与高阶长量场 26

1.6 微分形式与Cartan外代数 31

1.7 外微分 36

1.8 流形的定向，流形上积分与Stokes公式 40

习题一 45

第二章 积分子流形与Lie导数 47

2.1 流形映射与其诱导的流形上张量场映射 47

2.2 子流形，积分流形与Frodenius定理 49

2.3 微分方程的可积条件与Frobenius定理的第二种形式 54

2.4 局域单参数Lie变换群与Lie导数Lx 59

2.5 辛流形与分析力学 66

2.6 切触流形与切触变换(正则变换) 70

习题二 72

第三章 仿射联络与曲率张量，协变微分 74

3.1 仿射联络与协变微分 74

3.2 曲率2形式Ω与曲率张量R 79

3.3 测地线方程，切丛联络的挠率张量 82

3.4 协变外微分算子D 86

3.5 联络的和乐群、G流形与可平行化流形 90

习题三 91

4.1 度规张量场，Hodge运算与余微分算子 92

第四章 Riemann流形 92

4.2 Riemann联络与Riemann曲率张量 104

4.3 Killing矢量、最大对称空间与Riemann曲率 108

4.4 标架场与自旋联络 112

4.5 Riemann曲率张量的计算与Cartan活动标架法 119

4.6 活动标架法，三维欧氏空间中曲线与曲面 125

4.7 伪球面与B？cklund变换 133

习题四 138

5.1 同伦映射与具有相同伦型的流形 140

第五章 流形的同伦群与同调群 140

5.2 流形的同伦群 142

5.3 相对同伦群与恰当同伦序列 147

5.4 整同调群Hk(M，Z) 151

5.5 一般同调群Hk(M，G)与普适系数定理 157

5.6 对偶同态与对偶链群，上同调论 162

5.7 de Rham上同调论 165

5.8 谐和形式 Harmk(M,R) 170

5.9 同伦群与同调群间关系.n维球Sn与Eilenderg-Maclane空间 172

习题五 175

第六章 Lie群流形与流形对称性分析，对称空间 176

6.1 Lie群流形及其上不变向量场，Lie代数 176

6.2 Lie变换群与齐性空间 180

6.3 轨道空间与齐性空间的同伦群分析 183

6.4 对称空间 188

习题六 191

7.1 复流形的复结构与近复流形 192

第七章 复流形 192

7.2 保近复结构的协变导数与Lie导数，近复结构可积条件的若干等价形式 199

7.3 近Hermite流形与Hermite流形 204

7.4 K？hler流形 211

7.5 Hermite联络与K？hler联络 214

7.6 Calabi-Yau流形 217

7.7 非线性σ-model, 孤子解及其几何意义 220

习题七 236

8.1 一般向量丛E(M，F，π，G) 238

第八章 纤维丛的拓扑结构 238

8.2 向量丛的伴主丛，标架丛L(E) 244

8.3 主丛P(M，G，π)与伴矢丛E(M，F，π，G，P) 246

8.4 等价丛与丛的约化，切标架丛的约化与具G结构的流形 248

8.5 纤维丛整体是否平庸的判断 251

8.6 流形M上向量丛集合与K理论 253

8.7 纤维丛的分类与普适丛ξ(G) 254

习题八 259

9.1 主丛上联络与曲率 260

第九章 纤维丛上联络与曲率 260

9.2 伴丛上联络，物质场与规范场的相互作用 267

9.3 一般向量丛上的联络(线性联络) 271

9.4 向量丛与切丛的直积丛的联络与曲率，切丛联络的挠率问题 275

9.5 对偶矢从，Riemann联络与曲率 277

习题九 279

第十章 纤维丛的示性类 280

10.1 纤维丛示性类的一般性质，Weil同态 280

10.2 复矢丛与陈示性类 284

10.3 实矢丛与Pontrjagin类 289

10.4 实定向偶维矢丛与Euler类 294

10.5 Stiefel-Whitney类，四种示性类特性比较 296

10.6 次级示性类(陈-Simons形式) 299

习题十 304

第十一章 杨-Mills理论的拓扑分析 305

11.1 杨-Mills场的作用量与运动方程 305

11.2 规范对称性与守恒的Noether流 308

11.3 边界条件与场的拓扑性质，瞬子解 312

11.4 最子规范理论的拓扑效应与θ参数 320

11.5 三维时空规范理论与拓扑质量项 324

习题十一 327

第十二章 Atiyah-Singer指数定理 328

12.1 引言.Euler数及其有关定理 328

12.2 椭圆微分算子的解析指数与A-S指数定理 332

12.3 椭圆复形与A-S指数定理.例：de Rham复形与Gauss-Bonnet定理 337

12.4 其它经典椭圆复形与相应指数定理 340

12.5 扭曲椭圆复形与相应指数定理 344

12.6 A-S 指数定理在物理中应用举例 345

12.7 A-S 指数定理证明的简单介绍 348

12.8 利用超对称场论模型证明A-S指数定理 353

习题十二 358

第十三章 族指标定理、联络空间与轨道空间上同调论 359

13.1 引言.量子场论中反常的拓扑分析 359

13.2 单态反常与A-S指数定理 361

13.3 联络空间同调论与上同调论，推广的陈-Simons形式系列 365

13.4 规范群的各级拓扑障碍与？ech-de Rham双复形 371

13.5 族指标定理 381

13.6 轨道空间上同调及其提升，规范群上同调论 385

13.7 自洽反常的拓扑分析与WZW有效作用量 391

13.8 规范群各级拓扑障碍相应的量子反常效应 397

13.9 联络丛上的联络(Berry相) 402

习题十三 406

第十四章 带边流形与开无限流形的指数定理.APS-η不变量与分数荷问题 407

14.1 引言 407

14.2 带边流形上de Rham复形的指数定理 409

14.3 带边流形APS指数定理的一般形式 411

14.4 自旋复形的APS指数定理，非局域边界条件 414

14.5 开无限流形上的指数定理 419

14.6 APS-η不变量在物理中应用与分数Fermi荷问题， 424

14.7 非局域与局域边界条件的再讨论，分数Fermi荷与重正化问题 432

14.8 单参数族Dirac算子与谱流，APS-η不变量与诱导Fermi荷的计算 438

习题十四 442

A 集合论中若干概念简单介绍 443

附录 443

B. 拓扑学中若干概念简单介绍 445

C. 若干常用代数体系简单介绍 453

D. Abel群的若干基本性质 458

E. 代数体系的同态与同构，张量代数 460

F. 群的同态恰当系列 465

G. 推广的Kronecker delta符号 468

H. n维球Sn的坐标，测度，联络与曲率 470

I. SU(2)群流形(Ss)Riemann几何分析 474

J. S2(CP(1))流形与Hopf映射 475

K. 对称迹的定义与性质 479

L. 推广的陈-Simons形式(Q系列) 480

M. 规范群上闭链密度(Ω系列)与规范化数上闭链密度(ω系列) 486

N. 轴矢反常方程与迹等式 492

O. APS-η函数与推广的Biemann-ζ函数 494

一般参考书目 498

参考文献 498