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第七章 多元函数微分法及其应用 1

第一节 多元函数的基本概念 1

一、区域 1

二、多元函数概念 4

三、多元函数的极限与连续 9

习题7—1 15

第二节 偏导数与全微分 18

一、偏导数概念与计算 18

习题7-2(1) 27

二、全微分 29

习题7-2(2) 40

三、方向导数 42

习题7-2(3) 48

第三节 多元复合函数的微分法 49

一、全导数 49

二、复合函数微分法 53

三、全微分形式的不变 62

习题7-3 64

第四节 隐函数及其微分法 66

一、一个方程的情形 66

二、方程组的情形 70

习题7-4 77

第五节 偏导数的几何应用 79

一、空间曲线的切线与法平面 79

二、曲面的切平面与法线 85

习题7-5 91

第六节 多元函数的极值及其求法 92

一、多元函数的极值与最大值、最小值 92

二、条件极值拉格朗日乘数法 99

习题7-6 105

第七节 二元函数的泰勒公式 106

习题7-7 112

复习题 113

第八章 重积分 117

第一节 二重积分的概念与性质 117

一、二重积分的概念 117

二、二重积分的性质 122

习题8-1 124

第二节 利用直角坐标计算二重积分 127

习题8-2 139

第三节 利用极坐标计算二重积分 142

一、极点在区域D的外部(图8-17) 143

二、极点在积分区域的边界上(图8-18) 144

三、极点在积分区域D的内部(图8-19) 145

习题8—3 150

第四节 二重积分的换元法 153

习题8-4 158

第五节 二重积分的应用 159

一、曲面的面积 159

二、平面薄片的重心 164

三、平面薄片的转动惯量 167

四、平面薄片对质点的引力 168

习题8-5 171

第六节 三重积分的概念及计算法 172

习题8-6 178

第七节 利用柱、球面坐标计算三重积分 181

一、利用柱面坐标计算三重积分 181

二、利用球面坐标计算三重积分 184

习题8-7 192

第八节 含参变量的积分 195

习题8-8 201

复习题 203

一、第一型曲线积分的概念和性质 204

第九章 曲线积分与曲面积分 204

第一节 第一型曲线积分(对弧长的曲线积分) 204

二、第一型曲线积分的计算法 207

习题9-1 211

第二节 第二型曲线积分 212

一、第二型曲线积分的概念与性质 212

二、第二型曲线积分的计算法 215

三、两类曲线积分之间的关系 220

习题9-2 222

第三节 格林公式 223

第四节 平面曲线积分与积分路径无关的条件 230

习题9-3 230

习题9-4 237

第五节 第一型曲面积分 238

一、第一型曲面积分的概念和性质 238

二、第一型曲面积分的计算法 240

习题9-5 243

第六节 第二型曲面积分 244

一、第二型曲面积分的概念和性质 244

二、第二型曲面积分的计算法 248

习题9-6 253

第七节 高斯公式与斯托克斯公式 254

一、高斯公式 254

二、斯托克斯公式 260

习题9-7 267

第八节 场论简介 269

一、场的概念 269

二、方向导数与梯度 271

三、流量与散度 276

四、环量与旋度 280

习题9-8 285

复习题 287

第十章 无穷级数 289

第一节 无穷级数的基本概念及性质 289

一、无穷级数的基本概念 289

二、级数的基本性质 294

习题10-1 299

第二节 正项级数的审敛法 300

一、比较审敛法 303

二、比值审敛法 306

三、根值判别法 309

习题10-2 310

一、交错级数及其审敛法 311

第三节 任意项级数的敛散性 311

二、任意项级数的绝对收敛与条件收敛 313

习题10-3 318

第四节 幂级数 319

一、函数项级数的一般概念 319

二、幂级数及其收敛区间 320

三、幂级数的性质与运算 327

习题10-4 330

一、泰勒级数 332

第五节 函数的幂级数展开式 332

二、函数的幂级数的展开式 336

习题10-5 344

第六节 幂级数的应用 344

一、函数的近似公式 344

二、近似计算 345

三、尤拉公式 348

习题10-6 350

第七节 周期函数的傅立叶级数 350

一、三角函数系的正交性 350

二、周期函数的傅立叶级数 354

习题10-7 366

第八节 正弦级数和余弦级数 368

一、奇、偶函数的傅立叶级数 368

二、函数展开成正弦或余弦级数 374

习题10-8 380

复习题 381

第十一章 微分方程 383

第一节 微分方程的基本概念 383

习题11-1 388

第二节 可分离变量的微分方程 389

习题11-2 394

第三节 齐次方程 395

一、齐次方程 395

二、可化为齐次方程的方程 400

习题11-3 403

第四节 一阶线性微分方程 404

一、一阶线性微分方程 404

二、贝努利方程 409

习题11-4 411

一、全微分方程 413

二、积分因子 414

习题11-5 417

第六节 可降阶的高阶微分方程 417

第五节 全微分方程 418

一、yn＝f(x)型的微分方程 418

二、y ＝f(x，y )型的微分方程 418

三、y ＝f(y，y )型的微分方程 422

习题11-6 425

第七节 二阶线性微分方程解的结构 427

第八节 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 431

习题11-7 431

习题11-8 443

第九节 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 444

一、f(x)＝e~(λx)P_m(x)型 444

二、f(x)＝e~(λx)[P_o(x)cosωx＋P_n(x)sinroωx]型 448

习题11-9 455

第十节 尤拉方程 457

习题11-10 459

第十一节 微分方程的幂级数解法举例 459

习题11-11 463

复习题 464