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第一章 基础知识——函数、不等式的复习 1

1.1 函数 1

1.1.1 函数的图示法 1

1.1.2 函数的类型 2

1.1.3 三角函数 5

1.1.4 指数函数 10

1.1.5 对数函数 11

1.1.6 双曲函数 13

1.1.7 反函数 14

1.2 不等式 17

1.3 习题 17

第二章 微分学 20

2.1 极限 20

2.2 连续性 23

2.3 导数 24

2.4 微分法则 26

2.4.1 x的幂的导数 26

2.4.2 和的导数 27

2.4.3 积的导数 28

2.4.4 商的导数 28

2.4.5 复合函数的导数(链法则) 29

2.4.6 三角函数的导数 30

2.4.7 指数函数的导数 32

2.4.8 对数函数的导数 32

2.4.9 一般指数函数ax的导数 33

2.4.10 双曲函数的导数 33

2.4.11 反三角函数的导数 34

2.5 高阶导数 35

2.6 微分的应用 36

2.6.1 变化率 36

2.6.2 曲线的斜率，极大和极小 37

2.6.3 曲线的描绘 40

2.7 增量和微分 42

2.8 隐函数微分法 45

2.9 对数微分法 45

2.10 习题 47

第三章 积分 50

3.1 不定积分 50

3.2 积分的方法 51

3.2.1 标准积分式 52

3.2.2 置换法 53

3.2.3 三角被积函数的变换 58

3.2.4 分部积分法 59

3.2.5 代数分式的积分 62

3.3 特定积分 70

3.4 定积分 70

3.4.1 定积分的性质 71

3.4.2 广义积分 73

3.5 定积分作为一种求和法 74

3.6 定积分的应用 75

3.6.1 曲线下面的面积 75

3.6.2 力所做的功 79

3.6.3 回转体的体积 81

3.6.4 弧的长度 82

3.6.5 质心(质量中心) 83

3.6.6 转动惯量 87

3.6.7 平均值 90

3.6.8 几率和加权平均值 92

3.7 多重积分 95

3.8 习题 100

第四章 多元函数——偏微分法 104

4.1 偏导数的定义 104

4.2 偏导数的儿何解释 107

4.3 高阶导数 107

4.4 变量的置换 109

4.4.1 一阶导数 109

4.4.2 二阶导数 112

4.4.3 球极坐标 116

4.5 全微分 119

4.6 隐函数 123

4.6.1 一元函数 123

4.6.2 二元函数 124

4.6.3 偏导数之间一个有用的关系式 125

4.7 勒让德变换和麦克斯韦关系 126

4.8 线积分 128

4.9 习题 131

第五章 矢置 134

5.1 矢量代数 134

5.2 矢量的分解 136

5.3 矢量乘积 139

5.3.1 标量积 139

5.3.2 矢量积 142

5.3.3 三重积 145

5.4 矢量导数 148

5.5 矢量算符 152

5.5.1 标量场的梯度 152

5.5.2 矢量场的散度 154

5.5.3 矢量场的旋度 156

5.6 习题 156

第六章 级数，泰勒—马克劳林级数 159

6.1 简单级数 159

6.1.1 算术级数 159

6.1.2 几何级数 160

6.2 无穷级数的收敛 160

6.3 收敛检验法 162

6.3.1 正项级数 162

6.3.2 正负项交错级数 164

6.4 幂级数 166

6.5 泰勒和马克劳林级数 167

6.5.1 二项展开式 169

6.5.2 正弦和余弦级数 170

6.5.3 指数级数 171

6.5.4 对数级数 171

6.5.5 勒让德多项式 172

6.6 级数的微分或积分 173

6.7 习题 174

第七章 复数 176

7.1 定义 176

7.2 复数的代数 177

7.2.1 加法和减法 177

7.2.2 乘法 178

7.2.3 除法 178

7.2.4 共轭复数 178

7.2.5 复数的模 179

7.3 Argand图解 179

7.3.1 笛卡儿坐标 179

7.3.2 极坐标中的Argand图解 180

7.3.3 Argand图解中的乘法 181

7.3.4 除法 182

7.4 棣美弗定理 183

7.4.1 应用于三角公式 184

7.4.2 复数的方根 185

7.5 指数函数 186

7.6 习题 188

第八章 正交函数和傅里叶级数 191

8.1 矢量和函数的关系 191

8.2 用正交函数展开 193

8.3 傅里叶级数 195

8.4 傅里叶变换 201

8.5 习题 203

第九章 行列式 205

9.1 联立方程组和行列式 205

9.1.1 二阶行列式 205

9.1.2 三阶行列式 207

9.1.3 高阶行列式 209

9.2 行列式的性质 210

9.3 子式和余因子 215

9.4 线性方程组的解 216

9.4.1 非齐次方程组 216

9.4.2 齐次方程组 218

9.5 习题 221

第十章 矩阵 224

10.1 矩阵代数 224

10.1.1 矩阵加法 225

10.1.2 矩阵的恒等 225

10.1.3 矩阵和一常数相乘 225

10.1.4 矩阵乘法 226

10.2 一些重要的特殊矩阵 228

10.2.1 行矢量和列矢量 228

10.2.2 零矩阵 229

10.2.3 方矩阵 229

10.2.4 对角矩阵 230

10.2.5 单位矩阵 230

10.2.6 矩阵的行列式 230

10.2.7 矩阵的转置 231

10.2.8 对称矩阵 232

10.2.9 复矩阵 233

10.2.10 逆矩阵 233

10.2.11 正交矩阵和酉矩阵 236

10.3 联立方程组的解 236

10.4 本征值和本征矢量 238

10.5 线性变换 240

10.6 习题 243

第十一章 微分方程 245

11.1 常微分方程的分类及其解 246

11.2 一阶和一次方程 246

11.2.1 简单方程 247

11.2.2 变量可分离的方程 247

11.2.3 齐次方程 248

11.2.4 恰当微分方程 249

11.2.5 线性方程 251

11.3 较高次的一阶方程 254

11.4 线性二阶微分方程 254

11.4.1 齐次方程的解 255

11.4.2 非齐次方程的解 261

11.5 习题 265

第十二章 偏微分方程 269

12.1 波动方程 269

12.2 薛定谔方程 273

12.3 习题 276

第十三章 数值计算法 278

13.1 非线性方程解的牛顿法 278

13.2 数值积分或求积法 281

13.2.1 梯形法则 282

13.2.2 辛浦生法则 283

13.2.3 牛顿—柯台斯公式 285

13.2.4 高斯求积法 285

13.3 常微分方程的数值解 286

13.3.1 泰勒级数解 287

13.3.2 龙格—库塔法 288

13.3.3 预测修正法 290

13.4 联立线性方程的解，行列式的计算及逆矩阵 292

13.5 习题 295

第十四章 初等统计学和误差分析 297

14.1 误差 297

14.2 频数分布 298

14.3 正态分布 304

14.4 抽样 306

14.5 最小二乘法和曲线拟合法 307

14.5.1 最小二乘法原理 307

14.5.2 数据拟合于一个线性函数 308

14.5.3 数据拟合于其它函数 313

14.6 显著性检验 314

14.6.1 显著性水平 314

14.6.2 u—检验法 315

14.6.3 学生t—检验法 317

14.6.4 x2—检验法 319

14.7 习题 320

参考书目 322

习题答案 325