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第1章 复数与复变函数 1

§1.1 复数 1

1.1.1 复数域 1

1.1.2 复平面 1

1.1.3 复数的模与辐角 2

1.1.4 曲线的复数方程 4

§1.2 复平面上的点集 4

1.2.1 几个基本概念 4

1.2.2 区域与约当曲线 4

§1.3 复变函数 6

1.3.1 复变函数的概念 6

1.3.2 复变函数的极限和连续性 7

习题 9

第2章 解析函数 13

§2.1 解析函数的概念与柯西—黎曼方程 13

2.1.1 复变函数的导数与微分 13

2.1.2 解析函数及其简单性质 14

2.1.3 柯西-黎曼条件条件） 15

§2.2 初等解析函数 17

2.2.1 指数函数 17

2.2.2 三角函数 18

§2.3 初等多值解析函数 19

2.3.1 根式函数 19

2.3.2 对数函数 22

2.3.3 一般幂函数与一般指数函数 22

习题 23

第3章 复积分 26

§3.1 复积分的概念及其简单性质 26

3.1.1 复积分的定义 26

3.1.2 复积分的计算 28

3.1.3 复积分的基本性质 28

§3.2 柯西积分定理 30

3.2.1 柯西积分定理 30

3.2.2 不定积分 34

3.2.3 柯西积分定理的推广 36

§3.3 柯西积分公式及其推论 38

3.3.1 柯西积分公式 38

3.3.2 解析函数的无穷可微性 39

3.3.3 柯西不等式与刘维尔定理 41

3.3.4 摩勒拉定理 42

§3.4 解析函数与调和函数的关系 42

习题 45

第4章 复级数 48

§4.1 级数的基本性质 48

4.1.1 复数项级数 48

4.1.2 复函数项级数 49

§4.2 幂级数 51

§4.3 解析函数的泰勒展式 53

4.3.1 泰勒展式 53

4.3.2 求泰勒展式的方法 54

§4.4 解析函数的零点及唯一性 55

习题 58

第5章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 62

§5.1 解析函数的洛朗展式 62

§5.2 解析函数的孤立奇点 65

5.2.1 可去奇点 66

5.2.2 极点 66

5.2.3 本质奇点 68

§5.3 解析函数在无穷远点的性质 70

§5.4 整函数与亚纯函数简介 72

习题 74

第6章 留数理论及其应用 76

§6.1 留数 76

§6.2 留数的应用 80

6.3 辐角原理及其应用 88

6.3.1 对数留数 88

6.3.2 辐角原理 89

6.3.3 儒歇定理 91

习题 93

第7章 共形映射 96

§7.1 单叶解析函数的映射性质 96

7.1.1 解析变换的保域性 96

7.1.2 解析变换的保角性—导数的几何意义 98

7.1.3 单叶解析变换的保形性 100

§7.2 线性变换 101

7.2.1 线性变换的分解 101

7.2.2 线性变换的性质 102

§7.3 某些解析函数构成的共形映射 109

7.3.1 幂函数与根式函数 109

7.3.2 指数函数与对数函数 110

7.3.3 由圆弧构成的两角形区域的共形映射 112

7.3.4 儒可夫斯基函数 113

§7.4 关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理 114

7.4.1 黎曼存在定理 114

7.4.2 边界对应定理 116

习题 118

第8章 解析延拓 120

§8.1 解析延拓的概念与幂级数延拓 120

8.1.1 解析延拓的概念 120

8.1.2 解析延拓的幂级数方法 121

§8.2 透弧解析延拓、对称原理 124

8.2.1 透弧直接解析延拓 124

8.2.2 黎曼-施瓦茨对称原理 125

§8.3 完全解析函数及黎曼面的概念 130

8.3.1 完全解析函数 130

8.3.2 单值性定理 130

8.3.3 黎曼面概念 131

习题 134

附录A 复数在中学数学中的应用 135

部分习题参考答案 148

参考文献 152