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第1章 函数与极限 1

1.1 教学基本要求 1

1.2 本章导学 1

1.3 知识点精要 2

1.3.1 函数 2

1.3.2 极限 3

1.3.3 函数的连续性 6

1.4 疑难问题及常见错误例析 8

1.5 典型例题解析 10

1.5.1 函数的概念 10

1.5.2 求极限的方法 11

1.5.3 极限的存在性 15

1.5.4 已知函数的极限值，确定函数中的常数 15

1.5.5 无穷小的阶 16

1.5.6 函数连续性判断 17

1.5.7 闭区间上连续函数性质的应用 18

1.6 同步习题及解答 20

1.6.1 同步习题 20

1.6.2 同步习题解答 22

1.7 数学史料 26

第2章 导数与微分 27

2.1 教学基本要求 27

2.2 本章导学 27

2.3 知识点精要 28

2.3.1 一元函数的导数 28

2.3.2 一元函数的微分 30

2.4 疑难问题及常见错误例析 31

2.5 典型例题解析 33

2.5.1 函数导数的计算 33

2.5.2 利用导数定义求极限 39

2.5.3 讨论函数的可导性 40

2.5.4 已知函数的导数，确定函数中的常数 40

2.5.5 导数的应用 41

2.5.6 函数的微分 42

2.5.7 函数的微分应用 43

2.6 同步习题及解答 44

2.6.1 同步习题 44

2.6.2 同步习题解答 45

2.7 数学史料 48

第3章 微分中值定理与导数的应用 49

3.1 教学基本要求 49

3.2 本章导学 49

3.3 知识点精要 50

3.3.1 中值定理 50

3.3.2 导数的应用 50

3.4 疑难问题及常见错误例析 53

3.5 典型例题解析 56

3.5.1 中值定理的相关问题 56

3.5.2 利用洛必达法则求极限 58

3.5.3 不等式的证明 60

3.5.4 函数的单调性 62

3.5.5 函数的极值和最值 63

3.5.6 函数的凹凸性和拐点 65

3.6 同步习题及解答 66

3.6.1 同步习题 66

3.6.2 同步习题解答 67

3.7 数学史料 68

第4章 不定积分 70

4.1 教学基本要求 70

4.2 本章导学 70

4.3 知识点精要 71

4.3.1 不定积分的基本概念与性质 71

4.3.2 不定积分的计算方法 71

4.4 疑难问题及常见错误例析 74

4.5 典型例题解析 76

4.5.1 原函数和不定积分的概念 76

4.5.2 直接积分法 76

4.5.3 第一类换元积分法 77

4.5.4 第二类换元积分法 79

4.5.5 分部积分法 82

4.5.6 有理函数的积分 83

4.5.7 三角函数有理式的积分 84

4.6 同步习题及解答 86

4.6.1 同步习题 86

4.6.2 同步习题解答 87

4.7 数学史料 90

第5章 定积分 91

5.1 教学基本要求 91

5.2 本章导学 91

5.3 知识点精要 92

5.3.1 定积分的概念和性质 92

5.3.2 微积分基本公式 92

5.3.3 定积分的计算方法 93

5.3.4 主要结论 94

5.3.5 反常积分 94

5.4 疑难问题及常见错误例析 95

5.5 典型例题解析 97

5.5.1 定积分的概念与性质的应用 97

5.5.2 变限积分的求导问题 98

5.5.3 定积分的计算 100

5.5.4 反常积分的计算 105

5.6 同步习题及解答 105

5.6.1 同步习题 105

5.6.2 同步习题解答 107

5.7 数学史料 110

第6章 定积分的应用 111

6.1 教学基本要求 111

6.2 本章导学 111

6.3 知识点精要 111

6.3.1 元素法 111

6.3.2 定积分的几何应用 111

6.3.3 定积分的物理应用 113

6.4 疑难问题及常见错误例析 114

6.5 典型例题解析 117

6.5.1 几何应用 117

6.5.2 物理应用 122

6.6 同步习题及解答 125

6.6.1 同步习题 125

6.6.2 同步习题解答 128

6.7 数学史料 131

第7章 微分方程 132

7.1 教学基本要求 132

7.2 本章导学 132

7.3 知识点精要 133

7.3.1 微分方程的基本概念 133

7.3.2 一阶微分方程 133

7.3.3 高阶微分方程 134

7.4 疑难问题及常见错误例析 137

7.5 典型例题解析 138

7.5.1 一阶微分方程的解法 138

7.5.2 高阶微分方程的解法 146

7.6.1 同步习题 146

7.6.2 同步习题解答 147

7.7 数学史料 149

第8章 空间解析几何与向量代数 150

8.1 教学基本要求 150

8.2 本章导学 150

8.3 知识点精要 151

8.3.1 向量代数 151

8.3.2 空间曲面与空间曲线 152

8.3.3 平面与空间直线 153

8.4 疑难问题及常见错误例析 155

8.5 典型例题解析 157

8.5.1 空间直角坐标系与向量代数 157

8.5.2 空间曲面与空间曲线 159

8.5.3 平面与空间直线 161

8.6 同步习题及解答 167

8.6.1 同步习题 167

8.6.2 同步习题解答 169

8.7 数学史料 171

第9章 多元函数微分法及其应用 174

9.1 教学基本要求 174

9.2 本章导学 174

9.3 知识点精要 175

9.3.1 二元函数的极限与连续性 175

9.3.2 多元函数的微分法 176

9.3.3 方向导数与梯度 179

9.3.4 多元函数微分法的应用 180

9.4 疑难问题及常见错误例析 183

9.5 典型例题解析 185

9.5.1 二元函数的概念 185

9.5.2 二元函数的极限的求法 185

9.5.3 多元函数的连续性的讨论 187

9.5.4 二元函数极限、连续、可偏导、可微之间关系的讨论 188

9.5.5 函数偏导数的求法 188

9.5.6 方向导数与梯度的求法 195

9.5.7 微分法的应用 195

9.6 同步习题及解答 199

9.6.1 同步习题 199

9.6.2 同步习题解答 201

9.7 数学史料 204

第10章 重积分 205

10.1 教学基本要求 205

10.2 本章导学 205

10.3 知识点精要 205

10.3.1 二重积分 205

10.3.2 三重积分 207

10.3.3 重积分的应用 208

10.4 疑难问题及常见错误例析 209

10.5 典型例题解析 210

10.5.1 二重积分 210

10.5.2 三重积分 218

10.5.3 重积分的应用 226

10.6 同步习题及解答 229

10.6.1 同步习题 229

10.6.2 同步习题解答 231

10.7 数学史料 233

第11章 曲线积分与曲面积分 234

11.1 教学基本要求 234

11.2 本章导学 234

11.3 知识点精要 235

11.3.1 曲线积分 235

11.3.2 曲面积分 239

11.4 疑难问题及常见错误例析 243

11.5 典型例题解析 246

11.5.1 对弧长的曲线积分 246

11.5.2 对坐标的曲线积分 248

11.5.3 对面积的曲面积分 254

11.5.4 对坐标的曲面积分 256

11.5.5 曲线积分与曲面积分的应用 260

11.6 同步习题及解答 262

11.6.1 同步习题 262

11.6.2 同步习题解答 264

11.7 数学史料 268

第12章 无穷级数 269

12.1 教学基本要求 269

12.2 本章导学 269

12.3 知识点精要 270

12.3.1 常数项级数 270

12.3.2 函数项级数 273

12.4 疑难问题及常见错误例析 277

12.5 典型例题解析 280

12.5.1 常数项级数敛散性的判定 280

12.5.2 求函数项级数的收敛域 288

12.5.3 求幂级数的收敛域 289

12.5.4 求幂级数的和函数 291

12.5.5 求函数的幂级数展开式 293

12.5.6 求函数的傅里叶级数的和函数 295

12.5.7 将函数展开成傅里叶级数 296

12.5.8 级数应用 299

12.6 同步习题及解答 302

12.6.1 同步习题 302

12.6.2 同步习题解答 304

12.7 数学史料 310

参考文献 312