论数学真理PDF电子书下载

第一章 数学真理的创造 1

第一节 负数和虚数的引进 2

一、负数的引进 2

二、虚数的引进 5

第二节 非欧几何的诞生 10

一、平行公理的证明 10

二、罗氏几何的诞生 14

三、黎曼几何的诞生 20

第三节 超限数理论的创立 23

一、超限数的创立 24

二、超限数创立的哲学分析 36

第四节 数理逻辑的形成 40

一、莱布尼兹的数理逻辑思想 41

二、布尔代数 43

三、数理逻辑形成的哲学分析 48

第五节 结论 57

第二章 数学真理的发展 64

第一节 微积分的严密化运动 64

第二节 从笛卡儿的解析几何到格拉斯曼的n维几何 72

一、笛卡儿的解析几何 72

二、格拉斯曼的n维几何 73

第三节 从方程论到群论 77

一、代数方程的根式解 77

二、群论的创立 80

第四节 结论 84

第三章 数学真理的客观性 87

第一节 欧氏几何是现实空间的正确描述 87

第二节 非欧几何的出现 92

第三节 欧几里得的《几何原本》与希尔伯特的《几何基础》 95

一、欧几里得《几何原本》的缺陷 95

二、希尔伯特的《几何基础》 99

第四节 希尔伯特规划 112

一、集合论悖论的发现 112

二、希尔伯特规划 115

第五节 塔尔斯基关于真理的理论 116

第四章 逻辑与历史的复杂关系 127

第一节 线性代数中逻辑与历史不一致的现象 128

一、行列式理论的形成 129

二、矩阵理论的形成 131

三、行列式概念与矩阵概念的关系 133

第二节 几何学中逻辑与历史不一致的现象 137

一、射影几何的肇始 137

二、几何学的分类 140

三、度量几何与射影几何 141

第三节 微积分中逻辑与历史不一致的现象 148

第四节 结论 157

第五章 数学真理的多元性 158

第一节 关于无理数的两种理论 158

一、无理数的发现 158

二、关于无理数的两种不同理论 162

第二节 关于自然数的三种理论 170

一、关于自然数的第一种理论 170

二、萨尔可夫斯基序列—关于自然数的第二种理论 176

三、用集合表示自然数—关于自然数的第三种理论 179

第三节 关于空间并存着的几种几何 180

第四节 标准分析与非标准分析 185

一、标准分析 185

二、非标准分析 187

第五节 两种不同的公理集合论系统 190

一、康托尔集合论的缺陷 190

二、策梅洛—弗伦克尔公理系统 192

三、GB系统 196

第六节 结论 199

第六章 数学真理的判定 203

第一节 经验不是判定数学真理的标准 203

第二节 逻辑证明 210

一、逻辑证明 210

二、演绎推理在数学中的其他作用 216

第三节 实践证明 220

第四节 再谈逻辑证明 224

第七章 数学真理的走向 233

第一节 从欧氏几何到非欧几何 233

一、作为绝对真理的欧氏几何 233

二、作为相对真理的欧氏几何和非欧几何 242

三、康德的几何思想 246

第二节 代数中的形式永恒性原理与非交换代数 249

一、代数中的形式永恒性原理 249

二、非交换代数的出现 252

第三节 希尔伯特的证明论与哥德尔不完全性定理 257

一、数学理论绝对相容性的追求 257

二、哥德尔的不完全性定理 264

第四节 结论 268

参考文献 270