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绪论 1

第1篇 基础理论 9

1 问题的提出 11

1.1 马尔可夫过程 11

1.2 pij（t）的连续性 14

1.3 p′ij（0）的存在性 15

1.4 p′ij（t）在（0，∞）上的存在性及连续性 19

1.5 Q过程，Q－矩阵和拟Q－矩阵的定义 32

1.6 两个微分方程组 32

1.7 讨论的核心问题 35

2 Q过程的拉氏变换 38

2.1 马氏过程的拉氏变换 38

2.2 Q预解式 45

2.3 Q过程的拉氏变换的判别准则 49

2.4 B型Q过程的拉氏变换的判别准则 51

2.5 F型Q过程的拉氏变换的判别准则 52

3 非负线性方程组的最小非负解和最小Q过程 55

3.1 非负线性方程组的最小非负解 55

3.2 比较定理和线性组合定理 56

3.3 对偶定理 58

3.4 最小Q过程 59

4 分解定理 62

4.1 广义协调族 62

4.2 一维分解定理 72

4.3 二维分解定理 83

4.4 多维分解定理 102

4.5 Q过程的若干性质 121

4.6 补充与注记 126

第2篇 生灭过程的构造 127

5 生灭过程定性理论的主要结果 129

5.1 全稳定生灭矩阵的若干数字特征 129

5.2 问题的提出与定性理论的主要结果 133

5.3 补充与注记 135

6 全稳定单边生灭过程的定性理论 136

6.1 若干引理 136

6.2 最小生灭过程及其性质 145

6.3 生灭过程的定性理论 154

6.4 生灭过程定性理论的进一步讨论 169

6.5 补充与注记 177

7 全稳定双边生灭过程的定性理论 178

7.1 若干引理 178

7.2 最小双边生灭过程及其性质 186

7.3 双边生灭过程的定性理论 189

7.4 补充与注记 198

8 含瞬时态单边生灭过程的定性理论 199

8.1 结果的陈述 199

8.2 定理的证明 200

8.3 补充与注记 212

9 含瞬时态双边生灭过程的定性理论 213

9.1 结果的陈述 213

9.2 定理的证明 214

9.3 补充与注记 226

10 含有限个瞬时态生灭过程的构造 227

10.1 引言 227

10.2 单瞬时态单边生灭过程的构造 228

10.3 单（双）瞬时态双边生灭过程的构造 232

10.4 补充与注记 244

第3篇 随机单调性与收敛性 245

11 随机单调性 247

11.1 随机可比较性 247

11.2 Feller转移函数 257

11.3 对偶过程 265

11.4 随机单调性 269

11.5 补充与注记 284

12 转移函数的收敛性 286

12.1 遍历系数 286

12.2 强遍历性 289

12.3 多项式一致收敛性 292

12.4 L2－指数收敛性和指数遍历性 294

12.5 补充与注记 300

第4篇 第一特征值问题 301

13 第一特征值问题 303

13.1 基本概念 303

13.2 可逆Q过程的谱隙 306

13.3 耦合方法 313

13.4 生灭过程的谱隙 317

13.5 补充与注记 341

14 Cheeger不等式及其应用 342

14.1 引言 342

14.2 Cheeger不等式 344

14.3 谱隙的存在性准则 357

14.4 马尔可夫链的谱隙存在性 363

14.5 补充与注记 368

15 Nash不等式及其应用 369

15.1 引言 369

15.2 结论的证明 374

15.3 Nash不等式应用举例 385

15.4 补充与注记 396

第5篇 相关论题 397

16 Kendall猜想 399

16.1 Kendall猜想的提出 399

16.2 全稳定生灭过程由0+－系统的唯一决定性 400

16.3 单瞬时生灭过程由0+－系统的唯一决定性 409

16.4 补充与注记 416

17 半马尔可夫生灭过程 417

17.1 半马尔可夫过程的定义及向前向后方程 417

17.2 半马氏生灭过程、数字特征及其概率意义 423

17.3 向上的积分型随机泛函 427

17.4 向下的积分型随机泛函 435

17.5 遍历性及平稳分布 440

17.6 更新过程（GI/G/I排队系统的输入过程） 446

17.7 补充与注记 457

参考文献 458