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第8章　多元函数微分学及其应用 1

8.1　多元函数 1

8.1.1 n维空间 1

8.1.2 R2中的一些概念 2

8.1.3　多元函数的概念 3

8.1.4　多元函数的极限 4

8.1.5　多元函数的连续性 6

习题8.1 7

8.2　多元函数的偏导数 8

8.2.1　偏导数的定义及几何意义 8

8.2.2　偏导数的计算 9

8.2.3　函数偏导数存在与函数连续的关系 10

8.2.4　高阶偏导数 11

习题8.2 12

8.3　全微分 12

8.3.1　全微分的概念 12

8.3.2　函数可微分的条件 13

习题8.3 16

8.4　多元复合函数的求导法则 17

8.4.1　链式求导法则 17

8.4.2　全微分形式不变性 21

习题8.4 22

8.5　隐函数的求导公式 23

8.5.1 由一个方程确定的隐函数的求导法则 23

8.5.2 由方程组确定的隐函数的求导法则 25

习题8.5 27

8.6　方向导数与梯度 28

8.6.1　方向导数 28

8.6.2　梯度 30

习题8.6 32

8.7　多元函数微分学的应用 33

8.7.1　几何应用 33

8.7.2　全微分在近似计算中的应用 38

8.7.3　二元函数的泰勒公式 40

习题8.7 42

8.8　多元函数的极值、最值和条件极值 43

8.8.1　多元函数的极值及其判别法 43

8.8.2　多元函数的最值 46

8.8.3　多元函数的条件极值 48

习题8.8 51

8.9　数学实验 51

实验一　多元函数极限与偏导数的符号运算 51

实验二　多元泰勒（Taylor）公式 53

实验三　最小二乘曲线拟合问题 55

总习题8 61

自测题8 62

第9章　重积分 64

9.1　二重积分的概念与性质 64

9.1.1　二重积分的概念 64

9.1.2　二重积分的性质 66

习题9.1 67

9.2　二重积分的计算 67

9.2.1　在直角坐标系中计算二重积分 67

9.2.2　在极坐标系中计算二重积分 70

9.2.3　二重积分的换元法 73

9.2.4　广义二重积分 75

习题9.2 76

9.3　三重积分 77

9.3.1　三重积分的概念和性质 77

9.3.2　在直角坐标系中计算三重积分 78

9.3.3　在柱面坐标系和球面坐标系中计算三重积分 80

习题9.3 83

9.4　重积分的应用 84

9.4.1　重积分的几何应用 84

9.4.2　重积分的物理应用 86

习题9.4 89

9.5　数学实验 90

实验一　重积分的计算 90

总习题9 92

自测题9 93

第10章 曲线积分与曲面积分 95

10.1　第一类（对弧长的）曲线积分 95

10.1.1　第一类曲线积分的概念 95

10.1.2　第一类曲线积分的计算及其应用 97

习题10.1 100

10.2　第一类（对面积的）曲面积分 101

10.2.1　第一类曲面积分的概念 101

10.2.2　第一类曲面积分的计算及其应用 102

习题10.2 105

10.3　第二类（对坐标的）曲线积分 106

10.3.1　第二类曲线积分的概念 106

10.3.2　第二类曲线积分的计算法 109

习题10.3 112

10.4　格林公式及其应用 113

10.4.1　格林（Green）公式 113

10.4.2　平面曲线积分与路径无关的条件 117

10.4.3　格林公式的旋度形式和散度形式 121

习题10.4 124

10.5　第二类（对坐标的）曲面积分 125

10.5.1　第二类曲面积分的概念 125

10.5.2　第二类曲面积分的计算 129

习题10.5 132

10.6　高斯（Gauss）公式　通量与散度 133

10.6.1　高斯（Gauss）公式 133

10.6.2　通量与散度 137

习题10.6 138

10.7　斯托克斯（Stokes）公式　环量与旋度 139

10.7.1　斯托克斯（Stokes）公式 139

10.7.2　环量与旋度 142

习题10.7 142

10.8　数学实验 143

实验一　曲线积分的计算 143

实验二　曲面积分的计算 145

实验三　通讯卫星的电波覆盖地球表面问题 145

总习题10 148

自测题10 150

第11章　无穷级数 152

11.1　常数项级数的概念和性质 152

11.1.1　常数项级数的概念 152

11.1.2　收敛级数的基本性质 154

习题11.1 156

11.2　常数项级数的审敛法 157

11.2.1　正项级数及其审敛法 157

11.2.2　交错级数及其审敛法 162

11.2.3　绝对收敛与条件收敛 163

习题11.2 164

11.3　幂级数 165

11.3.1　函数项级数的概念 165

11.3.2　幂级数及其收敛性 166

11.3.3　幂级数的运算 169

习题11.3 171

11.4　函数展开成幂级数 172

11.4.1　泰勒级数 172

11.4.2　函数展开成幂级数 174

习题11.4 178

11.5　函数的幂级数展开式的应用 178

11.5.1　求某些级数的和 178

11.5.2　近似计算 179

11.5.3　欧拉公式 180

习题11.5 182

11.6　傅里叶级数 182

11.6.1　三角级数　三角函数系的正交性 182

11.6.2　函数展开成傅里叶级数 183

11.6.3　正弦级数和余弦级数 188

习题11.6 191

11.7　周期为2l的周期函数的傅里叶级数 191

习题11.7 193

11.8　数学实验 194

实验一　无穷级数的计算 194

总习题11 198

自测题11 199

第12章　微分方程 200

12.1　微分方程的基本概念 200

习题12.1 202

12.2　可分离变量的微分方程 203

习题12.2 205

12.3　一阶线性微分方程 205

习题12.3 208

12.4　全微分方程 208

习题12.4 210

12.5　可降阶的高阶微分方程 210

12.5.1 y(n)=f（x）型的微分方程 211

12.5.2　y″＝f（x,y′）型的微分方程 211

12.5.3　y″＝f（y,y′）型的微分方程 213

习题12.5 214

12.6　高阶线性微分方程 214

12.6.1　二阶线性微分方程举例 214

12.6.2　线性微分方程的解的结构 215

12.6.3　常数变易法 217

习题12.6 218

12.7　二阶常系数齐次线性微分方程 218

习题12.7 221

12.8　二阶常系数非齐次线性微分方程 222

12.8.1　f(x)=Pm(x)eμx型 222

12.8.2 f(x)=eμx［Sl(x)cosωx+Tn(x)sinωx］型 223

习题12.8 226

12.9　变量代换法 226

12.9.1　齐次方程 226

12.9.2　可化为齐次的方程 228

12.9.3　伯努利方程 230

12.9.4　欧拉方程 231

习题12.9 232

12.10　微分方程的幂级数解法 232

习题12.10 235

12.11　数学实验 235

实验一　常微分方程的解析解 235

实验二　常微分方程的数值解 237

实验三　狗追咬人的数学模型 240

总习题12 243

自测题12 243

习题答案与提示 245

参考文献 261