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第七章 空间解析几何与向量代数 1

第一节 空间直角坐标系 1

一、空间直角坐标系 1

二、两点间的距离公式 2

第二节 向量及其线性运算 3

一、向量概念 3

二、向量的加减法 3

三、向量与数的乘法 4

第三节 向量的坐标 5

一、向量在轴上的投影 5

二、向量的坐标 6

三、向量的模、方向余弦的坐标表示 8

第四节 向量的乘积 9

一、两向量的数量积 10

二、两向量的向量积 11

三、向量的混合积 13

第五节 空间曲面的方程 15

一、曲面方程的概念 15

二、平行于坐标面的平面方程 16

三、球面方程 16

四、母线平行于坐标轴的柱面方程 16

五、旋转曲面方程 17

第六节 平面及其方程 18

一、平面的点法式方程 18

二、平面的一般式方程 19

三、两平面的夹角 21

第七节 空间曲线的方程 22

一、空间曲线的一般方程 23

二、空间曲线的参数方程 23

三、空间曲线在坐标面上的投影 24

第八节 空间直线及其方程 25

一、直线的一般式方程 25

二、直线的对称式方程 25

三、有关直线和平面的问题 27

第九节 二次曲面 31

一、椭球面 32

二、单叶双曲面 32

三、双叶双曲面 33

四、椭圆抛物面 34

五、双曲抛物面 35

六、二次锥面 35

习题七 36

本章学习要点 42

第四单元（空间解析几何与向量代数）检测题 45

第八章 多元函数及其微分法 47

第一节 多元函数的概念 二元函数的极限和连续性 47

一、平面点集n维空间 47

二、多元函数的概念 48

三、二元函数的极限 50

四、二元函数的连续性 53

第二节 偏导数 54

一、偏导数的定义及其算法 54

二、高阶偏导数 57

第三节 全微分及其应用 59

一、全微分的概念 60

二、全微分在近似计算中的应用 63

第四节 多元函数复合函数的微分法 64

一、复合函数的全导数 65

二、复合函数的偏导数 67

三、全微分形式的不变性 70

第五节 隐函数的微分法 71

一、一元隐函数求导公式 72

二、二元隐函数求导公式 73

三、方程组的情形 74

第六节 多元函数微分法在几何上的应用 78

一、空间曲线的切线及法平面 78

二、空间曲面的切平面与法线 81

第七节 方向导数与梯度 83

一、方向导数 83

二、梯度 85

第八节 多元函数极值及其求法 87

一、二元函数的极值概念 87

二、极值的必要条件 88

三、极值的充分条件 88

四、二元函数的最大值和最小值 89

五、条件极值 91

第九节 最小二乘法 95

习题八 97

本章学习要点 106

第五单元（多元函数微分学）检测题 109

第九章 重积分 112

第一节 二重积分的概念及性质 112

一、二重积分的概念 112

二、二重积分的性质 115

第二节 二重积分的计算 116

一、二重积分在直角坐标系中的计算 117

二、二重积分在极坐标系中的计算 121

三、二重积分的换元法 128

第三节 三重积分 130

一、三重积分的概念 131

二、三重积分在直角坐标系中的计算 132

三、三重积分在柱坐标系中的计算 135

四、三重积分在球面坐标系中的计算 137

五、三重积分的换元法 141

第四节 重积分的应用 143

一、在几何上的应用 144

二、在物理上的应用 148

习题九 153

本章学习要点 162

第十章 曲线积分与曲面积分 164

第一节 对弧长的曲线积分 164

一、对弧长的曲线积分的概念及性质 164

二、对弧长的曲线积分的计算法 166

第二节 对坐标的曲线积分 168

一、对坐标的曲线积分的概念及性质 168

二、对坐标的曲线积分的计算法 170

三、两类曲线积分的关系 173

第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件 174

一、格林（Green）公式 174

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 178

第四节 全微分 182

第五节 对面积的曲面积分 185

一、对面积的曲面积分的概念及性质 186

二、对面积的曲面积分的计算法 187

第六节 对坐标的曲面积分 189

一、对坐标的曲面积分的概念及性质 189

二、对坐标的曲面积分的计算法 193

第七节 高斯公式 通量与散度 196

一、高斯（Gauss）公式 196

二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 199

三、通量与散度 200

第八节 斯托克斯公式 环流量与旋度 201

一、斯托克斯（Stokes）公式 201

二、空间曲线积分与路径无关的条件 203

三、环流量与旋度 205

习题十 205

本章学习要点 215

第六单元（多元函数积分学）检测题 218

第十一章 无穷级数 222

第一节 常数项级数的概念和基本性质 222

一、常数项级数的基本概念 222

二、级数的基本性质 224

三、级数收敛的必要条件 226

第二节 正项级数收敛性的判别法 227

一、正项级数的概念及判别收敛的基本法则 228

二、正项级数的比较判别法 228

三、正项级数的比值判别法 232

四、正项级数的根值判别法 233

第三节 任意项级数收敛性的判别法 235

一、交错级数及其收敛性判别法 235

二、任意项级数的绝对收敛与条件收敛 237

第四节 幂级数 239

一、函数项级数概念及其收敛域 239

二、幂级数及其收敛域 240

三、幂级数的性质 243

第五节 函数的幂级数展开 245

一、泰勒（Taylor）公式 246

二、泰勒级数定理 250

三、初等函数的泰勒级数展开式 252

第六节 幂级数应用举例 258

一、欧拉（Euler）公式 258

二、近似计算 259

第七节 傅里叶（Fourier）级数 262

一、三角级数 三角函数系的正交性 262

二、函数展开成傅里叶级数 263

三、正弦级数和余弦级数 268

四、函数在任意区间上的傅里叶级数 271

习题十一 275

本章学习要点 285

第七单元（无穷级数）检测题 287

第十二章 微分方程 292

第一节 微分方程的基本概念 292

第二节 一阶微分方程 294

一、可分离变量的微分方程 295

二、齐次方程 298

三、一阶线性微分方程 302

四、全微分方程 305

五、积分因子 307

第三节 可降阶的高阶微分方程 308

一、y（n） =f（x）型的方程 308

二、y″=f（x，y′）型的方程 309

三、y″=f（y， y′）型的方程 311

第四节 高阶线性微分方程 313

一、二阶线性齐次微分方程 313

二、二阶线性非齐次微分方程 314

三、常数变易法 315

第五节 常系数线性微分方程 317

一、二阶常系数线性齐次微分方程 317

二、二阶常系数线性非齐次微分方程 321

第六节 欧拉方程 325

第七节 微分方程的幂级数解法 326

习题十二 329

本章学习要点 335

第八单元（微分方程）检测题 337

部分习题答案与提示 339

单元检测题答案与提示 369

高等数学期末参考试题（第二学期） 373