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第1章 曲线与曲面论 1

1.1度量空间与欧氏空间 2

1.1.1度量空间 2

1.1.2向量空间 4

1.1.3仿射空间 6

1.1.4欧氏空间 6

1.1.5等距变换 7

1.2三维欧氏空间中的向量代数和向量分析 7

1.2.1三维欧氏空间中的向量及其运算 8

1.2.2向量函数和向量分析 8

附录1.2笛卡儿生平及学术贡献 10

1.3曲线论概述 12

1.3.1曲线的表示 12

1.3.2空间曲线的基本三棱形 14

1.3.3曲线的曲率、挠率和费雷内公式 16

附录1.3欧拉生平及学术贡献 19

1.4曲面论概述 21

1.4.1曲面的表示 21

1.4.2曲面的定向 24

1.4.3曲面的第一基本形式 26

1.4.4曲面的第二基本形式 28

1.4.5曲面的曲率 30

附录1.4高斯生平及学术贡献 34

1.5基于MATLAB的几何图形绘制和数值计算 36

1.5.1MATLAB用户环境介绍 36

1.5.2基于MATLAB的平面曲线绘制 37

1.5.3基于MATLAB的空间曲线绘制 38

1.5.4基于MATLAB的曲面绘制 39

1.5.5基于MATLAB的微分几何数值计算 44

习题1 45

第2章 张量代数和外形式 46

2.1对偶空间与多重线性函数 46

2.1.1对偶空间 46

2.1.2多重线性函数 48

2.2张量与张量代数 49

2.2.1张量及其表示 49

2.2.2张量积和张量代数 50

2.2.3张量的缩并运算 53

2.2.4度量张量、指标的提升和下降 54

2.3对称张量和反对称张量 55

2.3.1对称与反对称张量 55

2.3.2对称化与反对称化算子 57

2.4外形式与外代数 59

2.4.1外形式 59

2.4.2外积 60

2.4.3外形式空间和外代数 62

2.4.4外形式的性质 63

附录2.4嘉当生平及学术贡献 65

习题2 67

第3章 微分流形 68

3.1拓扑学基本概念 69

3.1.1拓扑空间 69

3.1.2拓扑空间的子集 70

3.1.3拓扑空间的映射 71

3.1.4拓扑不变性 72

3.2微分流形 74

3.2.1拓扑流形 74

3.2.2微分流形 75

3.2.3微分流形的例子 76

附录3.2黎曼生平及学术贡献 79

3.3光滑映射和微分同胚 81

3.3.1流形间的光滑映射 81

3.3.2微分同胚 82

附录3.3惠特尼生平及学术贡献 84

3.4切向量与余切向量 85

3.4.1切向量与切空间 85

3.4.2余切向量和余切空间 89

3.4.3诱导切映射和诱导余切映射 90

3.5子流形和带边流形 92

3.5.1浸入与嵌入 92

3.5.2开子流形和闭子流形 95

3.5.3嵌入定理 96

3.5.4带边流形和闭流形 97

附录3.5纳什生平及学术贡献 97

习题3 99

第4章 切向量场、单参数变换群与切丛 102

4.1切向量场和泊松括号积 102

4.1.1切向量场 103

4.1.2李代数与泊松括号积 104

4.1.3微分流形上的对合分布 107

4.1.4诱导切映射与泊松括号积运算的可交换性 109

4.2单参数变换群和李导数 109

4.2.1单参数变换群 110

4.2.2单参数变换群的诱导光滑切向量场 110

4.2.3李导数 112

4.3向量丛和切丛 113

4.3.1向量丛 113

4.3.2切丛和余切丛 115

附录4.3陈省身生平及学术贡献 118

习题4 121

第5章 张量场、黎曼流形与列维-齐维塔联络 122

5.1光滑张量场 123

5.1.1光滑张量场 123

5.1.2张量场的李导数 125

5.2单位分解定理、黎曼流形和伪黎曼流形 126

5.2.1单位分解定理 126

5.2.2黎曼流形 126

5.2.3伪黎曼流形 128

附录5.2爱因斯坦、广义相对论与黎曼几何 130

5.3外微分式及外微分 132

5.3.1外微分式 132

5.3.2外微分 133

5.3.3流形间光滑映射的诱导映射 138

5.4仿射联络和列维-齐维塔联络 141

5.4.1仿射联络和仿射联络空间 141

5.4.2挠率张量和挠率形式 143

5.4.3列维-齐维塔联络 145

5.4.4协变微分 147

附录5.4列维-齐维塔生平及学术贡献 150

5.5黎曼曲率和结构方程 151

5.5.1平行移动和测地线 151

5.5.2仿射联络的曲率张量和曲率形式 152

5.5.3黎曼曲率张量、截曲率和常曲率空间 154

5.5.4黎曼流形的结构方程 157

5.5.5里奇曲率和数量曲率 159

5.5.6爱因斯坦流形和卡拉比-丘流形 160

习题5 161

第6章 流形上的积分、微分算子和德拉姆上同调 164

6.1流形的定向、流形上的积分和斯托克斯定理 165

6.1.1流形的定向 165

6.1.2光滑流形上的积分 167

6.1.3黎曼流形上的积分 169

6.1.4斯托克斯定理 170

6.2黎曼流形上的微分算子 174

6.2.1霍奇星算子 175

6.2.2散度算子和梯度算子 176

6.2.3余微分算子 179

6.3霍奇-德拉姆算子、拉普拉斯-贝尔特拉米算子及其特征值 182

6.3.1霍奇-德拉姆算子和拉普拉斯-贝尔特拉米算子 183

6.3.2拉普拉斯算子的特征值 187

附录6.3贝尔特拉米生平及学术贡献 190

6.4德拉姆上同调和霍奇分解定理 192

6.4.1德拉姆上同调 192

6.4.2霍奇分解定理及其应用 193

6.4.3庞加莱对偶定理 195

附录6.4德拉姆生平及学术贡献 197

习题6 199

名词索引 201

人名索引 208

参考文献 213