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绪论 1

第一章　复数与复变函数 5

1．复数及其代数运算 5

1．复数的概念 5

2．复数的各种表示法 5

3．复数的运算 8

4．共轭复数的性质 13

5．几个常用的绝对值等式与不等式 14

6．复数在中学数学中的应用 15

7．复球面及无穷远点 20

2．区域与曲线 23

1．平面点集中的几个概念 23

2．复平面上的曲线 24

3．区域 25

3．复变函数的概念 27

1．复变函数的定义 27

2．复变函数的极限 29

3．复变函数的连续性 31

习题一 34

第二章　解析函数 37

1．解析函数的概念 37

1．导数概念 37

2．解析函数的概念 38

3．柯西—黎曼条件 39

2．解析函数与调和函数 43

3．基本初等函数 47

1．指数函数 47

2．对数函数 47

3．幂函数与根式函数 49

4．三角函数与双曲函数 50

5．反三角函数与反双曲函数 52

习题二 55

第三章　复变函数的积分 57

1．复变函数积分的概念 57

1．积分定义 57

2．积分的性质及计算方法 59

2．柯西积分定理 62

1．柯西积分定理 62

2．变上限积分确定的函数 63

3．柯西积分定理扩充到复连通区域 65

3．柯西积分公式与高阶导数 66

1．柯西积分公式 66

2．解析函数的无穷可微性 69

3．柯西不等式　刘维尔定理　代数基本定理 72

4．莫勒拉定理 73

习题三 73

第四章　无穷级数 75

1．复级数的基本概念 75

1．复数项级数 75

2．复变函数项级数 77

2．幂级数 82

1．幂级数的概念及阿贝尔定理 82

2．幂级数和的解析性 85

3．泰勒级数 86

1．泰勒定理 86

2．一些初等函数的泰勒展式 88

4．解析函数的零点及唯一性定理 90

1．解析函数的零点 90

2．唯一性定理 92

3．最大模原理 93

5．罗朗级数 95

1．罗朗定理 95

2．解析函数的孤立奇点及其类型 99

3．解析函数在无穷远点邻域的性质 104

习题四 106

第五章　留数及其应用 108

1．留数的概念 108

1．留数定义 108

2．留数定理 108

3．留数的计算规则 110

4．无穷远点的留数 114

2．留数在实积分求值上的应用 117

1．关于型如I=∫ 2π0 R（cosθ，sinθ）dθ的积分计算 117

2．型如I=∫∞-∞P(x)/Q(x)dx的积分计算 119

3．型如I=∫∞-∞P(x)/Q(x)eiaxdx（α>2）的积分计算 122

4．孤立奇点在实轴上的情形 125

习题五 127

第六章　保形映照 129

1．解析映照的特性 129

1．单叶解析函数的定义 129

2．切线倾角的复数表示 129

3．保形映照的概念 130

2．分式线性映照 132

1．分式线性映照概念及分解 132

2．分式线性映照的性质 135

3．分式线性映照的几个重要例子 138

3．几个初等函数的保形映照及应用 141

1．幂函数w=f(z)=zn（n是不小于2的自然数） 141

2．根式函数w=？（n≥2的自然数） 142

3．指数函数w=ez 143

4．对数函数w=Lnz 144

习题六 146

附录一　多值函数的枝点与分枝 148

附录二　参考书 153