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第一章 行列式 1

本章导学 1

问题背景 1

第一节 行列式的概念 2

一、引例 2

二、二阶和三阶行列式 2

三、n阶行列式 3

第二节 行列式的性质及计算 5

一、行列式的性质 5

二、行列式按行（列）展开 9

第三节 行列式的应用 12

一、用行列式分解因式 12

二、用行列式证明不等式和恒等式 13

本章知识网络 13

习题一 14

第二章 矩阵 17

本章导学 17

问题背景 17

第一节 矩阵的概念 18

一、引例 18

二、矩阵的概念 18

三、几种特殊的方阵 19

四、应用举例 20

第二节 矩阵的运算 21

一、矩阵相等 21

二、矩阵的加法 21

三、矩阵的乘法 22

四、矩阵的转置 26

五、方阵的行列式 27

六、分块矩阵 27

七、应用举例 30

第三节 矩阵的初等变换和秩 33

一、矩阵的初等变换 33

二、矩阵的秩 36

第四节 逆矩阵的定义和计算 39

一、逆矩阵的概念及性质 39

二、逆矩阵的计算 41

三、应用举例 45

第五节 矩阵的应用 46

一、企业经营管理中的矩阵问题 46

二、矩阵在企业设备更新中的应用问题 49

三、矩阵在产品成本核算中的应用问题 51

四、逆矩阵在密码问题中的应用 52

本章知识网络 54

习题二 54

第三章 向量及线性方程组 59

本章导学 59

问题背景 59

第一节 线性方程组的解 60

一、线性方程组的概念 60

二、克拉默法则 61

三、消元法 64

四、线性方程组有解的判定定理 66

第二节 向量及向量组的线性组合 68

一、n维向量及其线性运算 68

二、向量组的线性组合 69

第三节 向量组的线性相关性及其秩 71

一、线性相关性的概念 71

二、线性相关性的判定方法 71

三、向量组的秩 74

四、矩阵与向量组秩的关系 75

第四节 线性方程组解的结构 77

一、齐次线性方程组解的结构 77

二、非齐次线性方程组解的结构 81

第五节 向量及线性方程组的应用 85

一、投入产出问题中的应用 85

二、分配问题中的应用 87

三、交通问题中的应用 89

本章知识网络 90

习题三 91

第四章 矩阵的特征值和特征向量 95

本章导学 95

问题背景 95

第一节 特征值和特征向量的概念及计算 95

一、特征值与特征向量 96

二、特征值与特征向量的性质 99

第二节 相似矩阵 100

一、相似矩阵的概念 100

二、性质 101

三、矩阵的可对角化 102

第三节 实对称矩阵的特征值和特征向量 105

一、向量的内积、长度及正交 105

二、实对称矩阵的特征值、特征向量及对角化 109

第四节 特征值和特征向量的应用 115

一、经济发展与环境污染的增长模型 115

二、种群增长及分布模型 117

三、常染色体遗传问题中的应用 122

本章知识网络 124

习题四 124

第五章 二次型 130

本章导学 130

问题背景 130

第一节 二次型的基本概念 131

一、二次型及其矩阵 131

二、矩阵的合同 133

第二节 二次型的标准形和规范形 134

一、二次型的标准形 134

二、二次型的规范形 140

第三节 正定二次型与正定矩阵 142

一、正定二次型与正定矩阵的概念 142

二、正定二次型的判别 142

第四节 二次型的应用 146

一、二次型在二次曲面分类问题上的应用 146

二、二次型在多元函数极值中的应用 147

三、二次型在不等式证明中的应用 148

四、二次型在因式分解中的应用 148

五、二次型在统计中的应用 149

本章知识网络 150

习题五 151

习题参考答案 155

习题一 155

习题二 156

习题三 158

习题四 160

习题五 164

参考文献 168