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第1章 实分析基础 1

1.1 集合与映射 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 映射 3

1.1.3 集合的基数 4

1.2 实数与函数的有关定理 7

1.2.1 实数的有关定理 7

1.2.2 函数的有关概念与定理 11

1.3 直线上的开集和闭集 15

1.3.1 开集和闭集的概念 15

1.3.2 开集和闭集的性质 17

1.3.3 开集和闭集的结构 19

1.4 可测集 20

1.4.1 有界开集和闭集的测度 20

1.4.2 可测集的概念 22

1.4.3 可测集的性质 24

1.5 可测函数 25

1.5.1 可测函数的概念 25

1.5.2 可测函数的性质 27

1.5.3 几乎处处收敛和测度收敛 29

1.6 Lebesgue积分 31

1.6.1 Riemann积分 31

1.6.2 Lebesgue积分的概念 33

1.6.3 Lebesgue积分的性质 35

1.6.4 Lp空间 37

习题1 38

第2章 距离空间 41

2.1 距离空间的定义和例子 41

2.1.1 距离空间的定义 41

2.1.2 距离空间的实例 41

2.2 度量空间中的点集 47

2.2.1 距离拓扑 47

2.2.2 稠密集与可分性 48

2.3 完备距离空间 49

2.3.1 距离空间的完备化 52

2.4 紧性与列紧性 54

2.5 Banach空间 60

2.6 不动点原理及其应用 68

2.6.1 Banach不动点原理及迭代方法 68

2.6.2 压缩映像原理在积分方程理论中的应用 72

2.6.3 利用不动点定理求解常微分方程 74

2.7 有界线性泛函与Hahn-Banach扩张定理 76

2.7.1 有界线性算子 76

2.7.2 Hahn-Banach定理 84

习题2 100

第3章 Hilbert空间 107

3.1 内积空间 107

3.1.1 内积空间的概念和性质 107

3.1.2 常见的内积空间 110

3.2 几个常用的Hilbert空间 112

3.3 正交分解 115

3.3.1 正交与正交补 115

3.3.2 变分原理与正交分解定理 117

3.3.3 正交分解定理的应用 120

3.4 Hilbert空间中的Fourier分析 123

3.4.1 标准正交系 123

3.4.2 Fourier级数 126

3.5 Hilbert空间的同构 129

习题3 131

第4章 有界线性算子 135

4.1 一致有界原理，开映射定理和闭算子定理 135

4.1.1 一致有界原理 135

4.1.2 开映射定理，闭算子定理 139

4.2 共轭空间与共轭算子 141

4.2.1 共轭空间 141

4.2.2 共轭算子 143

4.2.3 算子的值域与核空间 145

4.3 算子的谱 147

4.3.1 谱的定义和性质 147

4.3.2 具体算子的谱 149

4.4 紧算子 152

4.4.1 紧算子的定义及性质 152

4.4.2 紧算子的谱 155

4.5 自伴算子，射影算子 156

4.5.1 自伴算子的定义及性质 157

4.5.2 射影 161

4.5.3 不变子空间与约化子空间 164

习题4 165

附录 Sobolev空间 168

A.1 Sobolev空间 168

A.1.1 广义导数 168

A.1.2 Sobolev空间W1 2（G） 170

A.1.3 Sobolev空间W1 2（G） 171

A.2 正规正交基的存在性与Parseval公式 174

A.2.1 正规正交基的存在性 174

A.2.2 Parseval公式 174

A.3 共轭双线性泛函 176

A.4 Hilbert共轭算子与Lax-Milgram定理 178

A.4.1 Hilbert共轭算子 178

A.4.2 Lax-Milgram定理 182

A.4.3 算子的矩阵表示 185

A.5 二次变分问题 187

A.5.1 双线性形式 187

A.5.2 二次变分问题的主定理 188

A.6 从泛函分析角度考察Dirichlet原理 190

A.6.1 经典的欧拉-拉格朗日方程 191

A.6.2 广义边界值 194

A.6.3 Poincare-Friedrichs不等式 194

A.6.4 Dirichlet问题的解的存在性 196

参考文献 199

索引 200