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第7章 多元函数微分法及其应用 1

7.1 多元函数 1

7.1.1 平面点集 1

7.1.2 多元函数的基本概念 3

7.1.3 多元函数的极限 5

7.1.4 多元函数的连续性 8

7.2 偏导数 11

7.2.1 偏导数的概念 11

7.2.2 偏导数的几何意义 14

7.2.3 高阶偏导数 15

7.3 全微分 18

7.3.1 全微分的概念 18

7.3.2 全微分在近似计算中的应用 23

7.4 多元复合函数的求导法则 26

7.4.1 多元复合函数的微分法 26

7.4.2 全微分形式不变性 31

7.5 隐函数的求导公式 33

7.5.1 一个方程的情形 33

7.5.2 方程组的情形 36

7.6 多元函数微分学的几何应用 40

7.6.1 空间曲线的切线与法平面 40

7.6.2 曲面的切平面与法线 44

7.7 方向导数与梯度 48

7.7.1 方向导数 48

7.7.2 梯度 50

7.8 多元函数的极值及其应用 54

7.8.1 多元函数的极值与最值 54

7.8.2 条件极值拉格朗日乘数法 58

7.9 最小二乘法 62

总习题7 66

实验7多元函数的极限及偏导数的计算 69

参考答案 70

第8章 重积分 78

8.1 二重积分 78

8.1.1 二重积分的概念 78

8.1.2 二重积分的性质 81

8.1.3 平面区域的表示 82

8.2 二重积分的计算 85

8.2.1 利用直角坐标计算二重积分 85

8.2.2 利用极坐标计算二重积分 89

8.2.3 一般变换计算二重积分 94

8.3 三重积分 99

8.3.1 三重积分的概念 99

8.3.2 三重积分的计算 100

8.4 重积分的应用 107

8.4.1 曲面的面积 107

8.4.2 质心 110

8.4.3 转动惯量 112

8.4.4 引力 113

总习题8 116

实验8重积分 118

参考答案 119

第9章 曲线积分与曲面积分 123

9.1 对弧长的曲线积分 123

9.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 123

9.1.2 对弧长的曲线积分的计算 125

9.2 对坐标的曲线积分 129

9.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 129

9.2.2 对坐标的曲线积分的计算 132

9.2.3 两类曲线积分之间的联系 136

9.3 格林公式及其应用 139

9.3.1 格林公式 139

9.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 143

9.3.3 二元函数的全微分求积 145

9.4 对面积的曲面积分 149

9.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 149

9.4.2 对面积的曲面积分的计算 150

9.5 对坐标的曲面积分 154

9.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 154

9.5.2 对坐标的曲面积分的计算 158

9.5.3 两类曲面积分之间的联系 160

9.6 高斯公式 通量与散度 162

9.6.1 高斯公式 162

9.6.2 曲面积分与积分曲面无关的条件 165

9.6.3 通量与散度 166

9.7 斯托克斯公式环流量与旋度 169

9.7.1 斯托克斯公式 169

9.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件 173

9.7.3 环流量与旋度 174

总习题9 176

实验9 曲线积分与曲面积分 179

参考答案 181

第10章 无穷级数 184

10.1 常数项级数的概念与性质 184

10.1.1 常数项级数 185

10.1.2 收敛级数的基本性质 187

10.1.3 柯西审敛原理 190

10.2 正项级数 192

10.2.1 比较审敛法 192

10.2.2 比值审敛法和根值审敛法 196

10.2.3 柯西积分审敛法 199

10.3 任意项级数 200

10.3.1 交错级数 201

10.3.2 绝对收敛与条件收敛 202

10.4 幂级数 207

10.4.1 函数项级数的概念 207

10.4.2 幂级数及其收敛性 207

10.4.3 幂级数的运算 212

10.5 函数展开成幂级数 215

10.5.1 泰勒级数 216

10.5.2 函数展开成幂级数的方法 218

10.5.3 函数的幂级数展开式的应用 224

10.6 傅里叶级数 226

10.6.1 三角函数系及其正交性 226

10.6.2 函数展开成傅里叶级数 227

10.6.3 傅里叶级数的收敛性 229

10.6.4 正弦级数和余弦级数 233

10.7 一般周期函数的傅里叶级数 237

10.7.1 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 237

10.7.2 傅里叶级数的复数形式 240

总习题10 243

实验10无穷级数 245

参考答案 250

第11章 微分方程 255

11.1 微分方程的基本概念 255

11.2 可分离变量的微分方程与齐次方程 259

11.2.1 可分离变量的微分方程 260

11.2.2 齐次方程 264

11.3 一阶线性微分方程 268

11.3.1 一阶线性方程的解法 268

11.3.2 伯努利方程 272

11.4 全微分方程 275

11.5 可降阶的高阶微分方程 279

11.5.1 y（n）＝f（x）型的微分方程 279

11.5.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程 280

11.5.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程 282

11.6 二阶线性微分方程 285

11.7 二阶常系数齐次线性微分方程 288

11.8 二阶常系数非齐次线性微分方程 293

11.8.1 f（x）＝Pm（x）e rx型 293

11.8.2 f（x）＝eax［Pl（x）cosβ＋Pn（x）sinβx］型 296

11.8.3 欧拉方程 299

11.9 微分方程的幂级数解法 301

总习题11 304

实验11常微分方程的求解 305

参考答案 310