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第六章 常微分方程 1

6.1微分方程的基本概念 1

一、引例 1

二、基本概念 2

6.2可分离变量的微分方程 4

6.3齐次方程 6

一、齐次方程 6

二、可化为齐次方程的微分方程 7

6.4一阶线性微分方程 10

一、线性方程 10

二、伯努利方程 12

6.5可降阶的高阶微分方程 13

一、y（n）＝f（x）型的微分方程 14

二、y″＝f（x，y′）型的微分方程 14

三、y″＝f（y，y′）型的微分方程 15

6.6线性微分方程解的性质与解的结构 17

6.7常系数齐次线性微分方程 19

6.8常系数非齐次线性微分方程 23

一、f（x）＝fn（x），其中fn（x）是x的一个n次多项式 23

二、f（x）＝fn（x）eλxe，其中fn（x）是一个n次多项式，λ为常数 24

三、f（x）＝acoswx＋bsinwx，其中a，b，w是常数 25

第七章 向量代数与空间解析几何 29

7.1向量及其运算 29

一、向量的概念 29

二、向量的线性运算 30

三、空间直角坐标系 32

四、向量坐标运算 34

五、向量的模、方向角及投影 35

7.2数量积、向量积、混合积 37

一、数量积 37

二、向量积 39

三、混合积 40

7.3平面与空间直线 42

一、平面及其方程 42

二、空间直线及其方程 46

7.4曲面及其方程 52

一、曲面方程的概念 52

二、柱面 53

三、旋转曲面 54

7.5空间曲线及其方程 59

一、空间曲线的方程 59

二、空间曲线在坐标面上的投影 60

第八章 多元函数微分学 66

8.1多元函数的极限与连续 66

一、平面点集与n维空间 66

二、多元函数的概念 68

三、多元函数的极限 69

四、多元函数的连续性 70

8.2偏导数 72

一、偏导数的定义及其计算 72

二、高阶偏导数 75

8.3全微分 76

一、全微分的概念 76

二、全微分在近似计算中的应用 79

8.4多元复合函数的微分法 80

一、链式求导法则 80

二、多元复合函数的全微分 84

8.5隐函数的求导公式 85

一、一个方程的情形 85

二、方程组的情形 87

8.6偏导数的几何应用 90

一、空间曲线的切线与法平面 90

二、空间曲面的法线与切平面 92

8.7方向导数与梯度 95

一、方向导数 95

二、梯度 97

三、数量场与向量场 99

8.8多元函数的极值 100

一、元函数的极值 100

二、多元函数的最值 102

三、条件极值 103

8.9二元函数的泰勒公式 105

8.10最小二乘法 107

第九章 重积分 111

9.1二重积分的概念与性质 111

一、二重积分的概念 111

二、二重积分的性质 113

9.2二重积分的计算 116

一、二重积分在直角坐标系下的计算 116

二、二重积分在极坐标系下的计算 121

三、二重积分的换元法 125

9.3三重积分 128

一、三重积分的概念 128

二、三重积分的计算 129

9.4重积分的应用 136

一、曲面的面积 136

二、质心 138

三、转动惯量 139

四、引力 141

第十章 曲线积分与曲面积分 145

10.1曲线积分 145

一、对弧长的曲线积分 145

二、对坐标的曲线积分 149

三、两类曲线积分之间的关系 155

10.2格林公式及其应用 157

一、格林格式 157

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 160

三、二元函数的全微分求积 163

10.3曲面积分 167

一、对面积的曲面积分 167

二、对坐标的曲面积分 171

三、两类曲面积分之间的关系 175

10.4高斯公式 通量与散度 177

一、高斯公式 177

二、通量与散度 179

10.5斯托克斯公式 环流量与旋度 181

一、斯托克斯公式 181

二、环流量与旋度 184

第十一章 无穷级数 188

11.1常数项级数的概念与性质 188

一、常数项级数的概念 188

二、常数项级数的性质 190

11.2常数项级数的审敛法 193

一、正项级数及其审敛法 193

二、交错级数及其审敛法 198

三、绝对收敛与条件收敛 199

11.3幂级数 201

一、函数项级数 201

二、幂级数及其收敛域 202

三、幂级数的运算 204

11.4函数的幂级数展开式 206

一、函数展开成幂级数 206

二、函数的幂级数展开式的应用 210

11.5傅里叶级数 214

一、三角级数及三角函数系的正交性 214

二、函数展开成傅里叶级数 215

附录1 数学建模简介 224

一、什么是数学模型 224

二、数学模型的分类 224

三、数学建模的过程 225

四、数学建模的方法 225

五、建模示例 226

附录2 Matlab软件简介及其应用 230

一、Matlab基本用法 230

二、Matlab的六大常见符号运算 232

三、Matlab中的图形 235

习题答案与提示 245

参考文献 263