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前言 1

引言 1

第一章 数学预备知识介绍 13

1.1 常微分方程(组)的解法 13

1.2 常微分方程的稳定性及定性理论 26

1.3 偏微分方程的特征理论 46

1.4 摄动的基本概念和问题 57

1.5 奇异摄动方法介绍 67

1.6 积分方程的理论与解法 81

参考文献 100

第二章 数学物理中的变分问题 102

2.1 函数的极值问题 102

2.2 泛函极值与变分问题 110

2.3 力学中的变分原理 126

2.4 可变区域上泛函的变分与Noether定理 134

2.5 流体力学中的变分原理 142

2.6 平均变分原理和波动传播及发展 148

参考文献 155

第三章 一阶非线性方程与Hamilton力学 157

3.1 一阶拟线性方程的理论 158

3.2 一阶非线性方程及其解法 165

3.3 全积分与求全积分的方法 174

3.4 Legendre变换及其在力学上的应用 179

3.5 Hamilton正则方程 185

3.6 H-J方程及H-J理论 192

3.7 变分与最优控制 204

3.8 Hamilton力学的几何原理 220

参考文献 235

第四章 稳定性与变分 236

4.1 流体稳定性的一些基本概念 236

4.2 平面平行流的边值问题特征值估计与变化 245

4.3 Couette流及其稳定性 253

4.4 无粘性流体中不稳定理论 263

4.5 流体稳定性的能量方法 274

4.6 平均变分法与波的稳定性 283

参考文献 294

第五章 变分原理的数学基础 296

5.1 线性空间与对偶空间 296

5.2 欧氏空间 305

5.3 欧氏空间中微分流形与Stokes定理 316

5.4 泛函分析中一些基本知识 326

5.5 广义函数初步 340

5.6 Sobolev空间大意 351

5.7 非线性泛函分析介绍 360

参考文献 369

第六章 变分问题及其算法 371

6.1 正算子与二次泛函的极小问题 371

6.2 算子形式的Euler定理、互补变分原理及变分的逆问题 380

6.3 Ritz与Galerkin方法 391

6.4 有限元方法 401

6.5 数学物理中反问题正则化方法思想 411

6.6 Tikhonov正则化与变分问题 422

6.7 最大熵方法及其应用 439

6.8 Rn中变分原理及算法 451

6.9 四维同化、变分同化及伴随方法 460

参考文献 473

第七章 流体及大气运动的非线性稳定性 476

7.1 流体运动稳定性的弱非线性理论 476

7.2 流体运动非线性稳定性Arnol d方法 487

7.3 多层准地转流的非线性稳定性 501

7.4 两层准地转流的非线性稳定性 511

7.5 Phillips模式的非线性斜压不稳定的饱和问题--上界估计 520

7.6 Phillips模式的非线性不稳定的饱和问题--下界估计 529

参考文献 535

附录：常用数学符号及代表意义 537