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第五篇 矢量代数基础与空间解析几何 1

第十章 矢量代数基础 1

第一节 矢量及其线性运算 2

10.1 矢量的表示法及相等条件 2

10.2 矢量的加法与减法 4

10.3 矢量与实数相乘的定义及运算律 6

第二节 空间直角坐标与矢量的坐标表达式 7

10.4 投影的基本定理 7

10.5 空间一点的直角坐标 10

10.6 两点之间的距离 定比分点的坐标 12

10.7 矢量的坐标及其模与方向余弦的坐标表示式 14

10.8 矢量的坐标表示式 16

第三节 矢量的乘积 17

10.9 两个矢量的标积及其性质 18

10.10 标积的坐标表示式 两个矢量垂直的条件 23

10.11 两个矢量的矢积及其性质 24

10.12 矢积的坐标表示式 两个矢量平行的条件 27

10.13 三个矢量的乘积 28

10.14 交错积的几何意义及性质 29

10.15 二重矢积的性质及计算法则 31

第十一章 空间解析几何 34

第一节 空间的平面与直线 34

11.1 平面方程的点法式 34

11.2 平面方程的一般式 35

11.3 平面方程的截距式及法线式 37

11.4 平面到一点的离差及距离 38

11.5 两个平面的夹角及垂直或平行的条件 41

11.6 直线方程的各种形式 42

11.7 两直线的夹角及平行或垂直的条件 44

18.12 偶函数与奇函数的福里哀级数 45

11.8 直线与平面的交角及交点 45

第二节 曲面与空间曲线 47

11.9 曲面方程 47

11.10 柱面与二次柱面 50

11.11 旋转曲面 52

11.12 空间曲线方程 54

第三节 二次曲面 57

11.13 二次曲面的分类 57

11.14 研究二次曲面方程的轨迹的初等方法 59

11.15 椭球面 61

11.16 单叶双曲面 63

11.17 双叶双曲面 65

11.18 椭圆抛物面 66

11.19 双曲抛物面 67

11.20 锥面与二次锥面 69

11.21 二次曲面小结 71

第六篇 多元函数微分学 73

第十二章 基础知识 73

第一节 多元函数的概念 73

12.1 二元函数概念 73

12.2 二元函数的几何表示法等值网 77

12.3 n元函数与点函数 79

第二节 多元函数的极限与连续 81

12.4 极限概念 81

12.5 函数的连续与间断 84

12.6 连续函数的特性 85

第十三章 多元函数微分法及其应用 87

第一节 偏导数与全微分 87

13.1 偏导数及其几何意义 87

13.2 高阶偏导数与求导次序问题 91

13.3 全增量与全微分 微小作用相加原理 96

13.4 全微分的几何解释 103

13.5 全微分在近似计算及误差估计上的应用 105

第二节 复合函数及隐函数的求导法 108

13.6 全导数公式 108

13.7 复合函数求导法与全微分形式不变性 112

13.8 由一个方程确定的隐函数及其求导法 117

13.9 由方程组确定的隐函数求导法 121

13.10 由积分确定的函数及其求导公式 125

13.11 高阶全微分 133

13.12 二元函数的台劳公式 135

第三节 偏导数的应用 137

13.13 空间曲线的切线方程及法面方程弧长 137

13.14 曲面的切面方程及法线方程 140

13.15 多元函数的极值 144

13.16 条件极值与拉格朗日乘数法 150

13.17 多元函数的最小值与最大值 157

13.18 隐示方程的曲线 寻常点与奇异点 159

13.19 曲线族的包络 163

13.20 一阶微分方程的图解法方向场 168

第七篇 多元函数积分学 172

第十四章 重积分 172

第一节 重积分的概念及性质 172

14.1 引出二重积分概念的几何及物理问题 172

14.2 二重积分的定义及存在定理 176

14.3 三重积分的定义 177

14.4 重积分的简单性质 179

第二节 二重积分的计算法及应用 181

14.5 在直角坐标系中的计算法 181

14.6 在极坐标系中的计算法 197

14.7 光滑曲面的面积 206

14.8 薄片的重心及转动惯量 211

14.9 引言 216

第三节 三重积分的计算法及应用 216

14.10 在直角坐标系中的计算法 219

14.11 在柱坐标系中的计算法 228

14.12 在球坐标系中的计算法 235

第十五章 曲线积分与曲面积分 240

第一节 曲线积分 240

15.1 对弧长的曲线积分 241

15.2 对坐标的曲线积分 250

15.3 两种曲线积分的关系 258

15.4 平面上曲线积分与二重积分的关系 259

15.5 曲线积分的特性 264

15.6 利用曲线积分求全微分的原函数 268

15.7 在微分方程中的应用积分因子 270

15.8 在物理上的应用 275

第二节 曲面积分 280

15.9 对面积的曲面积分与对坐标的曲面积分 280

15.10 曲面积分的基本性质及计算方法 286

15.11 曲面积分与三重积分的关系(奥氏公式) 289

15.12 曲面积分与曲面无关的条件 292

15.13 曲面积分与空间闭曲线积分的关系(斯氏公式) 293

第十六章 场论基础 297

第一节 方向导数与标量场的梯度 298

16.1 方向导数 298

16.2 标量场的梯度 304

第二节 矢量场的散度与旋度 311

16.3 散度的概念 311

16.4 散度的表达式及其基本性质 314

16.5 旋度的概念 320

16.6 旋度的表达式及其基本性质 324

16.7 矢量场的基本定理及其分类 329

第三节 两个重要定理及曲线坐标系中的表达式 329

16.8 梯度、散度、旋度在曲线坐标系中的表达式 331

第八篇 无穷级数与广义积分 336

第十七章 数项级数与函数项级数 336

第一节 数项级数 336

17.1 级数的收敛与发散 336

17.2 级数的基本性质 339

17.3 级数收敛的必要条件 341

17.4 同号级数判敛法 343

17.5 交错级数判敛法 349

17.6 异号级数的绝对收敛与条件收敛 352

17.7 函数项级数的收敛点与收敛域 355

第二节 函数项级数 355

17.8 均匀收敛的概念 358

17.9 均匀收敛的M判定法 362

17.10 匀敛级数的性质 365

第十八章 幂级数与福里哀级数 370

第一节 幂级数 370

18.1 幂级数的收敛域及其求法 收敛半径 370

18.2 幂级数的四则运算及分析性质 373

18.3 函数展为幂级数的台劳方法 378

18.4 函数展开的应用 379

18.5 函数展开的其它方法 二项式级数 387

18.6 微分方程的级数解及其存在问题 393

18.7 贝塞尔函数(圆柱函数) 399

第二节 福里哀级数 405

18.8 三角级数 405

18.9 三角函数组的正交性 406

18.10 福里哀公式与福里哀级数 408

18.11 狄里赫莱定理 412

18.13 以2l为周期的函数展为福里哀级数 418

18.14 函数在半区产(0，l)上展为福里哀级数 419

18.15 福里哀级数的指数形式 424

18.16 经验函数的谐波分析法选数板 428

第十九章 广义积分 436

第一节 无穷积分的收敛与发散 437

19.1 无穷积分的收敛与发散定义 437

19.2 无穷积分判敛法 439

第二节 无穷积分的均匀收敛 444

19.3 均匀收敛及其判定法 444

19.4 均匀收敛的应用 446

第三节 瑕积分的收敛与发散 452

19.5 瑕积分的收敛及发散定义 452

19.6 瑕积分判敛法 453

第四节 广义二重积分 456

19.7 无界域的二重积分 457

19.8 夫界函数的二重积分 460

第五节 Г函数与B函数 463

19.9 Г函数 463

19.10 B函数 466

附录 469