数学分析 上PDF电子书下载

0 预备知识 1

0.1逻辑符号 1

0.1.1 常用逻辑符号 1

0.1.2 逻辑运算的形式定义 1

0.1.3 运用逻辑符号表达命题 2

0.2 集合 3

0.2.1 集合的概念 3

0.2.2 集合的包含关系,集合的运算 4

0.2.3 集合的直积(Descartes积) 5

0.3 函数 5

0.3.1 函数定义 5

0.3.2 函数的表示 6

0.3.3 函数的几种特性 7

0.3.4 函数的运算 8

0.4 习题 10

1 数列极限 14

1.1 定义和例子 14

1.2 收敛数列的性质 17

1.2.1 唯一性 17

1.2.2 有界性 18

1.2.3 保号性 18

1.2.4 不等式性 18

1.2.5 迫敛性 19

1.3 收敛数列的四则运算 19

1.4 无穷小量与无穷大量 21

1.4.1 无穷小量 21

1.4.2 无穷大量 24

1.5 确界与单调有界数列 25

1.5.1 确界与确界存在的原理 25

1.5.2 单调有界数列的极限,数e 26

1.6 子列,数列的上下极限 28

1.6.1 数列与其子列极限的关系 28

1.6.2 数列的上下极限 30

1.7 Cauchy收敛准则 34

1.8 习题 36

2 函数极限 44

2.1 定义与例子 44

2.2 函数极限存在性条件 47

2.2.1 Heine归并定理 47

2.2.2 Cauchy收敛准则 48

2.2.3 单调函数的单侧极限的存在性 49

2.3 函数极限的性质 50

2.3.1 唯一性 50

2.3.2 局部有界性 50

2.3.3 局部保号性 51

2.3.4 不等式性 51

2.3.5 迫敛性 51

2.4 函数极限的运算 51

2.4.1 四则运算 51

2.4.2 复合运算 52

2.5 两个重要极限 52

2.6 无穷小量及无穷大量的阶的比较 54

2.7 习题 55

3 连续 61

3.1 定义和例子 61

3.1.1 函数的连续点 61

3.1.2 函数的间断点 62

3.2 连续函数的性质 63

3.2.1 局部有界性 63

3.2.2 局部保号性 63

3.2.3 不等式性 63

3.2.4 介值性 64

3.3 连续函数的运算 65

3.3.1 四则运算 65

3.3.2 复合函数的连续性 65

3.3.3 反函数的连续性 66

3.4 初等函数的连续性 66

3.4.1 *实指数函数幂 66

3.4.2 指数函数的连续性 67

3.4.3 初等函数的连续性 68

3.5 闭区间上连续函数的性质 68

3.5.1 有界性 69

3.5.2 最值存在性 69

3.5.3 一致连续性 70

3.6 习题 72

4 实数连续性 78

4.1 闭区间套定理 78

4.2 有限覆盖定理 80

4.3 致密性定理 81

4.4 等价性 83

4.5 习题 84

5 导数与微分 87

5.1 导数的概念 87

5.1.1 问题的引出 87

5.1.2 定义与例子 88

5.1.3 可导必连续 90

5.1.4 基本初等函数的导数 91

5.2 导数运算法则 92

5.2.1 四则运算 92

5.2.2 复合函数求导 93

5.2.3 反函数求导 95

5.3 微分 101

5.3.1 定义与例子 101

5.3.2 微分的运算 103

5.4 高阶导数与高阶微分 104

5.4.1 高阶导数 104

5.4.2 高阶微分 108

5.5 习题 110

6 微分学基本定理 116

6.1 微分中值定理 116

6.1.1 Fermat定理 116

6.1.2 Rolle定理 118

6.1.3 Lagrange定理 119

6.1.4 Cauchy定理 120

6.2 L'Hospital定理 123

6.2.1 0/0型 124

6.2.2 ∞/∞型 127

6.3 Taylor公式 129

6.3.1 带 Peano余项的Taylor 公式 130

6.3.2 带 Lagrange余项的Taylor 公式 134

6.3.3 Taylor公式在近似计算中的应用 137

6.3.4 *Lagrange插值公式 138

6.4 习题 140

7 运用导数研究函数性态 146

7.1 函数的单调性与极值 146

7.1.1 单调性 146

7.1.2 极值 148

7.2 函数的凸性 150

7.2.1 凸函数的定义 150

7.2.2 凸函数的性质 151

7.2.3 Jensen不等式 155

7.3 函数图像的讨论 158

7.3.1 平面曲线的拐点 158

7.3.2 渐近线 159

7.3.3 函数作图 160

7.4 习题 161

8 不定积分 165

8.1 不定积分概念 基本积分表 165

8.2 不定积分的运算 167

8.2.1 线性运算 167

8.2.2 第一换元法 169

8.2.3 第二换元法 173

8.2.4 分部积分法 174

8.3 几类特殊的初等函数的不定积分 177

8.3.1 有理函数的不定积分 177

8.3.2 三角函数有理式的不定积分 180

8.3.3 无理函数的不定积分 182

8.4 习题 183

9 定积分 191

9.1 定积分概念 191

9.1.1 问题的引出 191

9.1.2 定积分定义 194

9.2 函数可积的条件 195

9.2.1 函数可积的必要条件 195

9.2.2 函数可积的充要条件 196

9.2.3 可积函数类 202

9.3 定积分的性质 204

9.3.1 运算的基本性质 204

9.3.2 不等式性质 208

9.3.3 可积必绝对可积 210

9.3.4 积分第一中值定理 210

9.3.5 变上(下)限积分函数 211

9.4 微积分基本定理(Newton-Leibniz公式) 212

9.5 定积分的计算 214

9.5.1 换元法 214

9.5.2 分部积分法 216

9.5.3 积分第二中值定理 219

9.5.4 Riemann引理 221

9.6 习题 224

10. 定积分的应用 235

10.1 平面图形的面积 235

10.1.1 直角坐标系下的面积 235

10.1.2 极坐标系下的面积 236

10.2 由截面面积求立体体积 237

10.3 平面曲线的弧长与曲率 239

10.3.1 弧长 239

10.3.2 曲率 244

10.4 放置曲面的面积 245

10.4.1 微元法 245

10.4.2 放置曲面面积的计算 246

10.5 定积分在物理上的某些应用 247

10.5.1 压力 功 247

10.5.2 质心 248

10.6 习题 251