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第八章 多元函数微分法及其应用 1

第一节 多元函数的基本概念 1

一、区域 1

二、多元函数概念 4

三、多元函数的极限 7

四、多元函数的连续性 10

习题8-1 13

第二节 偏导数 14

一、偏导数的定义及其计算法 14

二、高阶偏导数 19

习题8-2 21

第三节 全微分及其应用 22

一、全微分的定义 22

二、全微分在近似计算中的应用 27

习题8-3 30

第四节 多元复合函数的求导法则 31

习题8-4 39

第五节 隐函数的求导公式 40

一、一个方程的情形 40

二、方程组的情形 43

习题8-5 47

一、空间曲线的切线与法平面 48

第六节 微分法在几何上的应用 48

二、曲面的切平面与法线 53

习题8-6 56

第七节 方向导数与梯度 57

一、方向导数 57

二、梯度 60

习题8-7 64

第八节 多元函数的极值及其求法 65

一、多元函数的极值及最大值、最小值 65

二、条件极值拉格朗日乘数法 71

一、二元函数的泰勒公式 75

第九节 二元函数的泰勒公式 75

习题8-8 75

二、极值充分条件的证明 80

一、二重积分的概念 80

习题8-9 83

第十节 最小二乘法 83

习题8-10 89

第九章 重积分 90

第一节 二重积分的概念与性质 90

二、二重积分的性质 94

习题9-1 96

一、利用直角坐标计算二重积分 98

第二节 二重积分的计算法 98

习题9-2(1) 107

二、利用极坐标计算二重积分 109

习题9-2(2) 115

三、二重积分的换元法 117

习题9-2(3) 123

第三节 二重积分的应用 124

一、曲面的面积 125

二、平面薄片的重心 128

三、平面薄片的转动惯量 130

四、平面薄片对质点的引力 131

习题9-3 133

第四节 三重积分的概念及其计算法 134

习题9-4 138

第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 140

一、利用柱面坐标计算三重积分 140

二、利用球面坐标计算三重积分 142

习题9-5 148

第六节 含参变量的积分 150

习题9-6 156

第十章 曲线积分与曲面积分 158

第一节 对弧长的曲线积分 158

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 158

二、对弧长的曲线积分的计算法 161

习题10-1 165

第二节 对坐标的曲线积分 166

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 166

二、对坐标的曲线积分的计算法 170

三、两类曲线积分之间的联系 176

习题10-2 178

第三节 格林公式及其应用 179

一、格林公式 179

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 185

三、二元函数的全微分求积 188

习题10-3 192

一、对面积的曲面积分的概念与性质 194

第四节 对面积的曲面积分 194

二、对面积的曲面积分的计算法 195

习题10-4 199

第五节 对坐标的曲面积分 201

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 201

三、两类曲面积分之间的联系 201

二、对坐标的曲面积分的计算法 207

习题10-5 213

第六节 高斯公式 通量与散度 214

一、高斯公式 214

二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 219

三、通量与散度 220

习题10-6 222

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 224

一、斯托克斯公式 224

二、空间曲线积分与路径无关的条件 230

三、环流量与旋度 232

四、向量微分算子 234

习题10-7 235

第十一章 无穷级数 237

第一节 常数项级数的概念和性质 237

一、常数项级数的概念 237

二、无穷级数的基本性质 241

三、级数收敛的必要条件 243

四、柯西审敛原理 245

习题11-1 246

第二节 常数项级数的审敛法 247

一、正项级数及其审敛法 247

二、交错级数及其审敛法 256

三、绝对收敛与条件收敛 258

习题11-2 264

第三节 广义积分的审敛法 Γ-函数 265

一、广义积分的审敛法 265

二、Γ-函数 272

习题11-3 274

第四节 幂级数 275

一、函数项级数的一般概念 275

二、幂级数及其收敛性 276

三、幂级数的运算 282

习题11-4 285

第五节 函数展开成幂级数 286

一、泰勒级数 286

二、函数展开成幂级数 289

习题11-5 297

一、近似计算 298

第六节 函数的幂级数展开式的应用 298

二、欧拉公式 303

习题11-6 305

第七节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 305

一、函数项级数的一致收敛性 305

二、一致收敛级数的基本性质 310

习题*11-7 316

第八节 傅立叶级数 317

一、三角级数 三角函数系的正交性 317

二、函数展开成傅立叶级数 320

习题11-8 328

一、奇函数和偶函数的傅立叶级数 329

第九节 正弦级数和余弦级数 329

二、函数展开成正弦级数或余弦级数 333

习题11-9 335

第十节 周期为2ι的周期函数的傅立叶级数 336

习题11-10 340

第十一节 傅立叶级数的复数形式 341

习题11-11 344

第十二章 微分方程 345

第一节 微分方程的基本概念 345

习题12-1 350

第二节 可分离变量的微分方程 351

习题12-2 359

第三节 齐次方程 360

一、齐次方程 360

二、可化为齐次的方程 365

习题12-3 368

第四节 一阶线性微分方程 368

一、线性方程 368

二、贝努利方程 372

习题12-4 375

第五节 全微分方程 376

习题12-5 379

第六节 欧拉-柯西近似法 380

一、y(n)=f(x)型的微分方程 385

习题12-6 385

第七节 可降阶的高阶微分方程 385

二、y″=f(x，y′)型的微分方程 388

三、y″=f(y，y′)型的微分方程 391

习题12-7 394

第八节 高阶线性微分方程 395

一、二阶线性微分方程举例 395

二、线性微分方程的解的结构 398

三、常数变易法 401

习题12-8 405

第九节 二阶常系数齐次线性微分方程 406

习题12-9 416

第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程 417

一、f(x)=eλxPm(x)型 418

二、f(x)=eλx［Pι(x)eosωx+Pn(x)sinωx］型 421

习题12-10 425

第十一节 欧拉方程 426

习题12-11 428

第十二节 微分方程的幂级数解法 428

习题12-12 433

第十三节 常系数线性微分方程组解法举例 433

习题12-13 437

习题答案 439