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第1部分 广义函数基础 1

第1章 广义函数与δ类广义函数 1

1.1 线性空间与线性连续泛函 1

1.1.1 线性空间 1

1.1.2 算子 1

1.1.3 泛函与线性连续泛函 2

1.2 检验函数 5

1.2.1 基本概念 5

1.2.2 常义函数的支集检验函数按支集分类 7

1.2.3 速降类与缓增类检验函数检验函数按趋势的分类 11

1.2.4 检验函数的性质 12

1.3 广义函数的定义 13

1.3.1 定义 13

1.3.2 常义函数序列的弱＊极限 15

1.3.3 δ序列的弱＊极限 17

1.3.4 小结 21

1.4 广义函数的局部性质与图象 21

1.4.1 广义函数的致零集与支集 21

1.4.2 广义函数的相等 22

1.4.3 广义函数的图象（波形） 24

1.4.4 广义函数的分类 25

1.5.1 两广义函数的加法运算 26

1.5 广义函数的代数运算 26

1.5.2 广义函数与常数的乘法运算 27

1.5.3 广义函数与无限可微常义函数的乘法 27

1.5.4 对广义函数的变量作线性变换 28

1.5.5 对广义函数的变量x作非线性变换 31

1.6 广义函数的广义导数 33

1.6.1 广义导数的两种定义 33

1.6.2 广义导数的性质 34

1.6.3 广义函数的高阶广义导数 35

1.6.4 广义导数的局部性质 35

1.6.5 例 36

1.7.1 广义函数的弱＊收敛序列及其完备性 38

1.7 广义函数的完备性 38

1.7.2 广义函数序列的广义导数 41

1.7.3 例 42

1.7.4 广义函数级数及其广义导数 43

1.8 广义函数的不定积分 44

1.8.1 原函数与不定积分 44

1.8.2 一阶微分方程的解 46

1.9 广义函数的阶段两个δ类广义函数的乘积 46

1.9.1 广义函数奇异质点的阶 47

1.9.2 δ类广义函数乘积的背景 48

1.9.4 乘积与莱布尼兹公式的存在定理 50

1.9.3 广义函数乘积的定义 50

1.9.5 广义函数乘积的运算 例 51

1.9.6 广义函数乘积的广义导数 53

1.10 δ类广义函数定积分的概述 53

1.10.1 基本概念 53

1.10.2 广义函数定积分的性质 55

1.10.3 分部积分公式 56

第2章 伪函数 58

2.1 引言 58

2.2.1 记号与相互关系 59

2.2 一些典型的具有第二类间断点的常义函数 59

2.2.2 无界常义函数的反常积分，柯西主值与哈达玛有限部分 62

2.2.3 ？f（x）？（x）dx与？f（x）？（x）dx的柯西主值与哈达玛有限部分 64

2.3 伪函数 66

2.3.1 伪函数的定义 66

2.3.2 例 68

2.4 伪函数的运算 70

2.4.1 和差 71

2.4.2 乘以无限可微的常义函数λ（x） 72

2.4.3 广义导数 74

2.4.4 多奇点常义函数的伪函数（概述） 75

2.5 广义函数除以常义函数 77

2.4.5 伪函数的两点简化 77

2.6 复变函数中的一类广义函数 79

2.6.1 函数x±j0 79

2.6.2 函数In（x±j0） 80

2.6.3 函数（x±j0）-？与δ±（x） 80

2.6.4 函数（x±j？）-？ 82

2.6.5　函数（x±j0）-？ 82

2.6.6 0＋与0－ 83

3.1.1 定义 85

3.1 维检验函数 85

第3章 广义函数的卷积 85

第2部分 广义函数的卷积、积分变换与应用 85

3.1.2 检验函数的升维与降维 86

3.1.3 引理 86

3.2 广义函数的直积 87

3.2.1 直积的定义 87

3.2.2 直积的性质 88

3.3 广义函数的卷积 91

3.3.1 定义 91

3.3.2 卷积存在的条件 93

3.3.3 卷积的性质 95

3.3.4 例 98

3.4.1 引言 99

3.4 卷积与相关对广义函数正则化的作用 99

3.4.2 广义函数的正则化与逼近（卷积法） 100

3.4.3 广义函数的正则化与逼近（相关法） 101

3.4.4 证明卷积存在定理的充分条件（4） 102

第4章 广义函数的傅里叶变换 103

4.1 实变复值泛函与实变复值广义函数 103

4.1.1 实变复值检验函数 103

4.1.2 实变复值泛函与实变复值广义函数 103

4.1.3 实变复值广义函数的基本运算 103

4.2.1 经典傅里叶变换的回顾 104

4.2 检验函数的傅里叶变换对 104

4.2.2 各类检验函数的经典傅氏变换 106

4.2.3 ？类广义函数 109

4.2.4 用数字附标表示各类检验和广义函数 109

4.2.5 检验函数经典傅氏变换的主要性质 110

4.3 广义函数傅氏变换的定义与存在定理 111

4.3.1 引言 111

4.3.2 广义函数的傅氏变换与傅氏逆变换 112

4.3.3 几点附注 114

4.4 广义函数傅氏变换与傅氏逆变换的性质 116

4.4.1 线性与唯一性 116

4.4.3 变量x作线性变换 117

4.4.2 极限 117

4.4.4 广义导数 119

4.4.5 广义函数共轭的傅氏变换与傅氏逆变换 119

4.4.6 Parseval公式 120

4.4.7 广义函数卷积的傅氏变换与傅氏逆变换 121

4.5 例题 122

4.5.1 用平移与线性性质 123

4.5.2 用导数性质 124

4.5.3 用卷积定理 127

4.6 广义函数积分的傅氏变换与傅氏逆变换 127

4.7.1 经典傅里叶级数的回顾 129

4.7 周期性广义函数的傅里叶级数与傅氏变换 129

4.7.2 周期性广义函数 130

4.7.3 周期性广义函数的傅里叶级数 131

4.7.4 傅里叶级数的傅氏变换与傅氏逆变换 132

4.7.5 傅里叶级数的一般理论 133

第5章 广义函数的拉普拉斯变换 136

5.1 复变广义函数δ（s） 136

5.1.1 复变常义函数的回顾与复变检验函数 136

5.1.2 复变δ函数 137

5.1.3 运算 138

5.1.4 代数方程的广义函数解 139

5.2.2 常义函数的右边拉普拉斯变换 140

5.2.1 单边指数经常义函数 140

5.2.3 右拉普拉斯逆变换的柯西积分式与留数表达式 142

5.2.4 拉普拉斯变换对的泛函表达式 143

5.2.5 例 143

5.3 广义函数的右拉普拉斯变换 144

5.3.1 单边指数级广义函数 144

5.3.2 右拉普拉斯变换的定义与主要定理 144

5.3.3 右拉普拉斯变换的性质 148

5.2 经典的右拉普拉斯变换 149

5.3.4 伪函数右拉普拉斯变换的例子 158

5.3.5 右拉普拉斯逆变换 159

5.4.1 左拉普拉斯变换的定义与主要定理 162

5.4 广义函数的左拉普拉斯变换 162

5.4.2 左拉普拉斯变换的性质 164

5.4.3 左拉普拉斯逆变换 167

5.5 第一种双边拉普拉斯变换 168

5.5.1 第一种双边拉普拉斯变换的定义与主要定理 168

5.5.2 第一种双边拉普拉斯变换的性质 173

5.5.3 第一种双边拉普拉斯逆变换 179

5.6 第二种双边拉普拉斯变换 181

5.6.1 有限极点的区分问题 181

5.6.2 第二种双边拉普拉斯变换的定义与主要定理 183

5.6.3 性质 187

6.1.1 经典理论的回顾 196

第6章 微分方程的广义函数解 196

6.1 微分方程广义函数解总论 196

6.1.2 广义函数域中微分方程的解 197

6.1.3 广义函数域中齐次微分方程的通解 198

6.1.4 广义函数域中非齐次微分方程的解 200

6.1.5 广义函数域中散分方程的稳定性 204

6.2 用双边拉普拉斯变换求微分方程的广义函数解 207

6.2.1 线性常系数常微分方程 207

6.2.2 线性变系数常微分方程 210

6.3 用单边拉普拉斯变换求微分方程初值问题的广义函数解 211

6.3.1 因果系统 211

6.3.2 反因果系统 212

6.3.3 线性时不变微分差分因果系统的初值问题 213

6.4 卷积商与广义函数 213

6.4.1 卷积商 214

6.4.2 卷积商的简单运算 216

6.4.3 卷积及卷积商的幂次 217

6.4.4 8的卷积及积分算子8＊ 218

6.4.5 8-1的卷积及微分算子8-1“＊ 219

6.4.6 常义函数的卷积商 220

6.5 用卷积商求微分方程的广义函数解 223

参考文献 226

索引 229