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第一章 函数与极限 1

第一节 函数 1

一、函数的定义与性质 1

二、初等函数 2

第二节 极限 4

一、数列的极限 4

二、函数的极限 5

三、两个重要极限 9

四、无穷小量的比较 10

第三节 函数的连续与间断 11

一、函数的连续 11

二、函数的间断 12

三、初等函数的连续性 12

四、闭区间上连续函数的性质 12

拓展阅读 函数、极限的发展简史 13

习题 15

第二章 导数与微分 17

第一节 导数的概念 17

一、导数的引入 17

二、导数的定义 18

三、可导与连续的关系 19

四、导数的基本公式 19

第二节 导数的运算 20

一、导数的四则运算法则 20

二、复合函数的求导法则 22

三、隐函数的求导法则 23

四、取对数的求导法则 25

五、基本初等函数的求导公式 25

六、高阶导数 26

第三节 变化率模型 27

一、独立变化率模型 27

二、相关变化率模型 28

三、边际函数 29

第四节 函数的微分 30

一、微分的概念 30

二、微分的几何意义 31

三、微分的计算 31

四、微分的应用 32

拓展阅读 高等数学 34

习题 35

第三章 导数的应用 37

第一节 微分中值定理 37

一、罗尔定理 37

二、拉格朗日中值定理 38

三、柯西中值定理 39

第二节 洛必达法则 40

一、“0/0”，“∞/∞”型未定式的运算 40

二、其他类型未定式的运算 42

第三节 函数的性态研究 43

一、函数的单调性和极值 43

二、函数的凹凸区间与拐点 48

三、函数的渐近线 49

四、函数图象的描绘 51

第四节 导数在实际问题上的简单应用 52

第五节 函数的幂级数展开式 54

一、用多项式近似表示函数 54

二、常用的几个函数的幂级数展开式 56

拓展阅读 罗尔、柯西与洛必达 59

习题 60

第四章 不定积分 62

第一节 不定积分的概念与性质 62

一、原函数与不定积分 62

二、不定积分的简单性质 64

第二节 不定积分的计算 65

一、基本公式 65

二、直接积分法 65

三、两类换元积分法 68

四、分部积分法 79

五、有理函数与三角函数的积分 82

拓展阅读 现代微积分的发展简史 84

习题 86

第五章 定积分及其应用 89

第一节 定积分的概念与性质 89

一、定积分的引入 89

二、定积分的定义 91

三、定积分的性质 93

第二节 定积分的计算 95

一、微积分的基本定理 95

二、定积分的换元积分法 97

三、定积分的分部积分法 99

第三节 定积分的应用 100

一、几何上的应用 101

二、物理上的应用 103

三、定积分在其他方面的简单应用 105

第四节 广义积分和Γ函数 107

一、广义积分 107

二、Γ函数 110

拓展阅读 莱布尼兹——博学多才的数学符号大师 111

习题 111

第六章 微分方程 114

第一节 微分方程的基本概念 114

第二节 一阶微分方程 117

一、可分离变量的方程 117

二、一阶齐次方程 119

三、一阶线性微分方程 121

四、伯努利方程 122

第三节 二阶微分方程 123

一、可降阶的微分方程 123

二、二阶微分方程解的结构 125

三、二阶常系数线性齐次微分方程 127

四、二阶常系数线性非齐次微分方程 129

第四节 拉普拉斯变换求解微分方程 131

一、拉普拉斯变换的概念与性质 131

二、拉普拉斯变换及逆变换性质 132

三、拉普拉斯变换求解微分方程 133

第五节 微分方程的简单应用 134

一、肿瘤生长模型 134

二、药学模型 135

拓展阅读 微分方程简介 138

习题 139

第七章 多元函数的微分学 142

第一节 空间解析几何基础知识 142

一、空间直角坐标系 142

二、平面与二次曲面 143

第二节 多元函数与极限 146

一、多元函数的定义 146

二、多元函数的极限 147

三、多元函数的连续性 149

第三节 多元函数的偏导数与全微分 150

一、偏导数 150

二、高阶偏导数 152

三、全微分 153

四、全微分的应用 156

五、复合函数的微分法 157

六、全微分形式不变性 158

七、隐函数微分法 159

第四节 多元函数的极值 160

一、二元函数的极值 160

二、条件极值、拉格朗日乘数法 163

拓展阅读 拉普拉斯与拉格朗日 164

习题 165

第八章 多元函数的积分 168

第一节 二重积分的概念与性质 168

一、二重积分的引入 168

二、二重积分的概念 169

三、二重积分的性质 170

第二节 二重积分的计算 172

一、直角坐标系下二重积分的计算 172

二、极坐标系下二重积分的计算 176

第三节 二重积分的简单应用 178

一、几何上的应用 178

二、物理上的应用 178

第四节 曲线积分 180

一、对弧长的曲线积分 180

二、对坐标的曲线积分 182

三、格林公式与应用 186

拓展阅读 重积分的发展简史 190

习题 191

第九章 线性代数基础 194

第一节 行列式 194

一、行列式的概念 194

二、行列式的性质 199

第二节 矩阵 202

一、矩阵的概念 202

二、矩阵的运算 203

三、转置矩阵 208

四、方阵的行列式 209

第三节 逆矩阵 210

第四节 矩阵的初等变换与线性方程组 213

一、矩阵的秩和初等变换 213

二、利用初等变换求逆矩阵 214

三、矩阵初等行变换与线性方程组 215

第五节 矩阵的特征值与特征向量 218

拓展阅读 矩阵理论的发展简史 220

习题 221

参考文献 224

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