初中数学知识精要 公式·定理·概念·应用PDF电子书下载

第一章 实数 1

一、概念 1

1.自然数 1

自然数 1

上篇 代数 1

质数与合数 2

分解质因数 2

最大公约数与最小公倍数 3

互质数 3

2.整数 3

正整数 3

负整数 4

整数 4

奇数和偶数 4

有理数 5

3.有整数 5

正数与负数 5

有理数数系表 6

数轴 6

相反数 7

绝对值 7

倒数 8

比较大小 9

乘方 9

4.实数 10

无理数 10

实数 10

实数分类的数系表 10

5.方根 11

平方根 11

实数的绝对值 11

实数的大小比较 11

立方根 12

n次方根 12

n次次方根符号 12

算术根 13

开方 13

6.非负数 13

近似数 14

7.近似数和有效数字 14

有效数字 15

近似计算 15

科学计数法 15

二、法则与定律 17

1.有理数加法法则 17

2.有理数减法法则 17

5.有理数乘方法则 18

3.有理数乘法法则 18

4.有理数除法法则 18

6.实数的运算法则 19

7.实数运算定律 19

加法交换律 19

加法结合律 19

乘法交换律 19

乘法结合律 19

乘法分配律 20

8.运算顺序 20

三、应用 21

(一)典型方法 21

1.分类的方法 21

2.数学符号的应用 22

3.数形结合的方法 23

4.转化思想 24

(二)融合训练 26

4.两点间的距离 27

(三)趣味与应用 31

1.代数式 34

第二章 代数式 34

(一)代数式 34

一、概念 34

2.代数式的值 35

3.代数式的分类 35

4.列代数式 35

5.代数式的恒等变形 36

(二)有理式 36

1.整式 36

整式 36

单项式的次数 37

多项式 37

单项式的系数 37

单项式 37

多项式的项 38

常数项 38

多项式的次数与名称 38

多项式各项的排列方法 39

同类项 39

合并同类项 39

因式分解 40

因式分解的方法 40

因式分解的一般步骤和注意事项 44

2.分式 44

分式 44

真分式与假分式 45

约分 45

最简分式 45

部分分式 46

通分 46

繁分式 46

二次根式 47

最简二次根式 47

(三)根式 47

1.二次根式 47

同类二次根式 48

分母有理化 48

有理化因式 48

2.根式 49

根式 49

同次根式与异次根式 50

最简根式 50

同类根式 50

无理式 51

3.代数式的有关概念对应的字母运算图表 51

3.分数指数幂 52

(四)指数概念的扩充 52

1.零指数幂 52

2.负整数指数幂 52

二、性质 法则 54

(一)整式 54

1.去括号法则 54

2.添括号法则 54

3.整式的乘除 54

同底数的幂的乘法法则 54

同底数的幂的除法法则 55

幂的乘方法则 55

积的乘方法则 56

单项式的乘法法则 56

单项式与多项式相乘的法则 57

多项式与多项式相乘的法则 57

多项式除以多项式 58

多项式除以单项式 58

单项式除以单项式 58

(二)分式 60

1.分式的基本性质 60

2.分式的变号法则 60

3.分式的运算法则 61

分式的加减法法则 61

分式的乘法法则 61

分式除以分式 61

分式的乘方法则 62

4.繁分式的化简有两个途径 62

(三)根式 63

1.二次根式的性质 63

2.根式“？”的基本性质 64

3.有理数指数幂的运算法则 64

4.根式的运算性质 65

5.根式加减法法则 66

6.根式的乘、除、乘方、开方 66

1.有理数幂的运算公式 67

2.乘法公式 67

3.二次根式的化简公式 67

三、分式 67

4.根式的运算公式 68

四、应用 69

(一)典型方法 69

1.用字母代替数，简化运算 69

2.用字母代替数，探求规律 69

3.活用公式，巧求值 70

4.换元法分解因式 72

5.二元二次多项式的因式分解 73

(二)融合训练 74

(三)趣味与应用 85

方程 89

2.方程 89

一、概念 89

(一)等式与方程 89

1.等式 89

第三章 方程与不等式 89

验根 90

同解方程 90

解方程 90

方程的解 90

方程的分类 91

(二)有理方程 91

1.整式方程(组) 91

一元一次方程 91

解一元一次方程的一般步骤 92

含有字母系数的一元一次方程 92

二元一次方程 93

二元一次方程的解 93

二元一次方程的解集 94

二元一次方程组 94

方程组 94

求二元一次方程的方法 94

二元一次方程组的解 95

解方程组 95

二元一次方程组解的讨论 95

解的检验 96

二元一次方程组的解法 96

三元一次方程 98

三元一次方程组 98

三元一次方程组的解 98

三元一次方程组的解法、步骤 98

列方程(组)解应用题的步骤 100

一元二次方程 100

一元二次方程的一般形式 101

一元二次方程的解法 101

一元二次方程根的判别式 104

△与根的关系 104

一元高次方程 105

一元二次方程的根与系数的关系 105

二元二次方程和二元二次方程组 106

二元二次方程组的解法 106

2.分式方程 110

分式方程 110

解分式方程的基本思想与增根 110

解分式方程的一般步骤 111

列分式方程解应用题 112

(三)无理方程 112

绝对不等式 114

矛盾不等式 114

1.不等式 114

2.不等式的分类 114

(四)不等式 114

条件不等式 115

3.不等式的解 115

4.不等式的解集 115

5.解不等式 115

6.同解不等式 115

一元一次不等式 116

一元一次不等式解的讨论 116

解一元一次不等式的步骤 116

解一元一次不等式 116

1.一元一次不等式 116

(五)一元一次不等式(组)与一元二次不等式 116

一元一次不等式组 117

2.一元一次不等式组 117

一元一次不等式组的解集 118

一元一次不等式组的基本类型 118

3.一元二次不等式 119

一元二次不等式的图象求解法 119

解一元二次不等式的步骤 120

(六)分式不等式 120

1.分式不等式 120

2.解分式不等式的方法 121

1.绝对值不等式 122

2.解绝对值不等式的方法 122

3.|x|＞a，|x|＜a型的绝对值不等式 122

(七)绝对值不等式 122

4.“零点法”解绝对值不等式 123

二、性质 定理 125

1.等式的性质 125

2.方程的同解原理 125

3.不等式的三条性质 126

4.不等式的同解原理 126

5.韦达定理 127

三、公式 128

(一)典型方法 129

1.判别式△的应用 129

四、应用 129

2.韦达定理的应用 130

3.应用方程化循环小数为分数 133

4.典型应用题 135

5.比较大小的方法 140

(二)融合训练 142

(三)趣味与应用 153

坐标系与坐标平面 155

坐标轴与坐标原点 155

一、概念 155

1.平面直角坐标系 155

(一)直角坐标系 155

第四章 函数 155

象限 156

点的坐标 156

2.两点间的距离 158

同一数轴上两点间的距离 158

平面内任意两点间的距离 158

2.函数 160

函数的定义 160

(二)函数 160

1.常量和变量 160

函数定义域的求法 161

3.函数关系的表示法 162

解析法 162

列表法 163

图象法 163

(三)正比例函数与反比例函数 164

1.正比例函数 164

正比例函数的定义 164

正比例函数的图象 164

3.几点说明 165

反比例函数的定义 165

反比例函数的图象 165

2.反比例函数 165

(四)一次函数与二次函数 166

1.一次函数 166

一次函数的定义 166

一次函数的图象 166

2.二次函数 168

二次函数的定义 168

二次函数的图象 168

3.作二次函数图象的一般方法 169

2.反比例函数y=？(k≠0)的性质 170

二、性质 170

1.正比例函数y=kx(k≠0)的性质 170

3.一次函数y=kx+b(k≠0)的性质 171

4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质 172

6.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 174

5.抛物线y=ax2，y=a(x+k)2 174

三、公式 176

1.两点间的距离 176

2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 176

顺用公式求距离 177

逆用公式求待定常数 177

1.距离公式的应用 177

(一)典型方法 177

四、应用 177

距离公式的变形应用 178

2.求定义域 179

3.待定系数法求函数解析式 180

待定系数法 180

待定系数法求函数解析式的步骤 180

4.运用函数性质解题 183

5.求函数的最值 185

配方法求最值 185

判别式法求最值 187

6.数形结合的方法 187

7.面积最大与用料最省 189

8.求函数关系式 190

(二)融合训练 192

(三)趣味与应用 205

第五章 统计初步 208

一、概念 208

(一)总体和样本 208

1.总体 208

2.个体 208

3.样体 208

(三)众数与中位数 209

1.众数 209

1.总体平均数 209

2.样本平均数 209

(二)平均数 209

4.样本容量 209

2.中位数 210

3.去尾平均数 210

(四)方差 210

1.总体方差 210

2.样本方差 210

1.频率分布 211

2.研究频率分布的步骤 211

3.样本标准差 211

(五)频率分布 211

二、公式 213

(一)平均数计算公式 213

(二)方差计算公式 214

1.样本方差公式 214

2.样本标准差公式 215

三、应用 216

(一)典型方法 216

1.四个基本概念及平均数的计算方法 216

2.求方差与标准差 216

3.列频率分布表，绘制频率分布直方图 217

(二)融合训练 219

(三)趣味与应用 221

下篇 平面几何 225

第一章 直线 相交线 平行线 225

一、概念 225

(一)直线、射线、线段 225

1.直线 225

直线的表示方法 225

直线可以向两方无限延伸 225

线段两个端点，线段的长度是有限量 226

线段的表示方法 226

3.线段 226

射线的表示方法 226

2.射线 226

射线只有一个端点，而另一端可以无限延伸 226

线段的延长线 227

线段的中点 227

(二)角 228

1.角的静态定义、角的顶点，角的边 228

2.角的表示方法 228

3.角的动态定义、始边、终边 229

4.平角 229

5.周角 229

钝角 230

互为余角 230

7.相关的角 230

6.小于平角的角 230

锐角 230

直角 230

互为补角 231

互为邻补角 231

8.角的度量 231

(三)相交线 平行线 232

1.对顶角 232

2.垂线、垂足 232

4.点到直线的距离 233

5.线段的垂直平分线 233

3.斜线、斜足 233

6.角的平分线 234

7.三线八角 234

8.平行线 234

9.两平行线间的距离 235

(四)命题、证明 235

1.命题 235

2.真命题 235

3.假命题 235

5.定理 236

6.证明 236

4.公理 236

二、公理 定理 性质 237

(一)公理 237

1.等量公理 237

2.不等量公理 237

3.关于直线、线段、垂线、平行线的公理 237

(二)定理 238

(三)性质 239

1.直线的性质 239

2.有关角的性质 239

3.平行线的性质 239

利用三角板、直尺画垂线与平行线 241

1.垂线与平行线的画法 241

三、应用 241

(一)典型方法 241

利用直尺与圆规作垂线、平行线 242

2.角度的计算 243

3.巧证三点共线 244

4.平移法(辅助线法) 244

5.证明垂直、平行 245

(二)融合训练 246

(三)趣味与应用 252

三角形的边 254

三角形的内角(即)三角形的角 254

三角形的顶点 254

(一)三角形 254

1.三角形 254

一、概念 254

第二章 三角形、四边形、相似形 254

三角形的外角 255

三角形的分类 255

2.三角形的主要线段及“五心” 256

三角形的角平分线、内心 256

三角形的中线、重心 256

三角形的外心 257

三角形的旁心 257

三角形的高、垂心 257

三角形的中位线 258

3.全等三角形 258

(二)多边形 258

1.多边形 258

多边形 258

凸多边形、凹多边形 258

多边形的边、顶点、周长、对角线、内角、外角 259

2.四边形 259

平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形及四边形的从属关系定义 259

特殊四边形与一般四边形之间的联系 260

两条线段的比 261

成比例线段 261

(三)成比例线段与相似形 261

比例 261

1.成比例线段 261

黄金分割 262

内分点、外分点 263

2.相似形 263

相似三角形 263

相似比 263

3.位似图形 264

相似多边形、相似比 264

射影 264

点在一条直线上的正射影 264

线段在一条直线上的正射影 264

(四)其它 265

1.逆定理 265

互逆命题、逆命题 265

互逆定理、逆定理 266

2.对称图形 266

轴对称和轴对称图形 266

中心对称和中心对称图形 267

中心对称与轴对称的区别 267

尺规作图 268

作图题的分类 268

3.基本作图 268

平面几何中常见的轴对称图形和中心对称图形 268

尺规作图中五种作图公法 269

基本作图 269

三角形奠基法 269

4.面积 270

多边形的面积 270

分割法 270

割补法 270

补充法 270

角和角的关系 271

1.三角形的边角关系 271

边和边的关系 271

二、定理 性质 271

(一)三角形 271

边和角的关系 272

2.全等三角形 273

全等三角形的性质 273

全等三角形的判定定理或公理 273

3.等腰三角形的判定和性质 274

等腰三角形的判定定理 274

等腰三角形的性质定理 274

4.直角三角形的判定和性质 274

判定定理 274

性质定理 275

2.矩形的性质定理、判定定理 278

(二)四边形 278

1.平行四边形的性质定理、判定定理 278

3.菱形的性质定理、判定定理 279

4.正方形的性质定理、判定定理 279

5.梯形的性质定理 280

6.等腰梯形的性质定理、判定定理 280

(三)成比例的线段、相似形 281

1.比例的性质 281

比例的基本性质 281

合比定理 281

等比定理 281

平行线截等线段定理 282

三角形一边的平行线的性质 282

2.平行线分线段成比例 282

平行线分线段成比例定理 282

平行线分线段成比例定理推论 282

3.角平分线的性质 283

角平分线的性质 283

三角形内角平分线性质定理 283

三角形内角平分线判定定理 283

三角形外角平分线性质定理 283

相似三角形的基本定理 284

三角形相似的判定定理2 284

三角形相似的判定定理1 284

4.相似三角形的判定定理和性质定理 284

三角形外角平分线判定定理 284

三角形相似的判定定理3 285

直角三角形相似的判定定理 285

三角形相似的判定定理推论1 285

三角形相似的判定定理推论2 285

三角形相似的判定定理推论3 286

三角形相似的判定定理推论4 286

三角形相似的判定定理推论5 286

三角形相似的判定定理推论6 287

相似三角形的性质定理1 287

5.射影定理 288

相似三角形的性质定理2 288

相似三角形的性质定理3 288

6.相似多边形的性质定理 289

7.位似图形的性质定理 289

8.几个重要定理 289

共边比例定理 289

共角比例定理 290

梅涅劳斯定理 290

梅涅劳斯定理的逆定理 291

塞瓦定理 291

塞瓦定理的逆定理 292

3.平行四边形的面积公式 293

5.梯形的面积公式 293

4.菱形的面积公式 293

三、公式 293

2.矩形的面积公式 293

1.凸n边形的内角和公式 293

6.勾股定理的公式表示 294

7.凸n边形的对角线条数计算公式 294

8.海伦公式 294

四、应用 296

(一)典型方法 296

1.分析法和综合法 296

平移法(添加辅助平行线) 298

2.辅助线法 298

对称法 299

旋转法 301

截长补短法、截大补小法 301

3.计算法 303

4.特例法证(解)定值问题 303

5.面积法 305

6.运用方程思想解(证)几何题 306

7.反证法 307

8.同一法 309

(二)融合训练 312

(三)趣味与应用 326

第三章 三角函数与解三角形 331

一、概念 331

(一)三角函数 331

1.角α的三角函数 331

2.直角三角形中锐角α的三角函数 332

(二)解直角三角形 333

1.三角形的六个基本元素 333

2.解直角三角形 333

3.仰角、俯角 334

4.坡度、坡角 334

2.解斜三角形的基本类型有以下四种 335

(三)解斜三角形 335

1.解斜三角形 335

5.方位角 335

6.方向角 335

二、性质 定理 337

(一)0°～180°角的三角函数的性质 337

1.三角函数的符号 337

2.特殊角的三角函数值 337

3.三角函数值的变化 338

(二)正弦定理、余弦定理 339

1.正弦定理 339

2.余弦定理 339

1.同角三角函数间的关系 341

2.互为余角的三角函数间的关系 341

三、公式 341

(一)三角函数间的关系 341

3.互为补角的三角函数间的关系 342

(二)解直角三角形有关的公式 342

(三)解斜角三角形有关的公式 343

四、应用 344

(一)典型方法 344

1.利用同角三角函数关系解题的方法 344

2.由三角比构造直角三角形解题的方法 344

3.利用三角函数的性质解题的方法 345

4.根据图形巧作辅助线，转化为解直角三角形的方法 347

5.列方程、方程组解三角形的方法 348

6.巧用韦达定理解题 351

7.巧用正弦定理、余弦定理解题 353

(二)融合训练 354

(三)趣味与应用 365

(一)圆 371

1.圆、圆心、半径 371

2.圆的内部、圆的外部 371

一、概念 371

第四章 圆 371

3.弦 372

4.直径 372

5.弧 372

6.半圆 372

7.优弧 372

8.同心圆 373

9.等圆 373

10.等弧 373

11.圆心角 373

12.弦心距 373

1.直线和圆相离 374

(二)直线和圆的位置关系 374

2.直线和圆相切、切线、切点 374

13.圆周角 374

14.圆内角、圆外角 374

3.直线和圆相交、割线 375

4.切线长 375

5.三角形的内切圆、圆的外切三角形 375

6.多边形的内切圆、圆的外切多边形 375

7.弦切角 376

(三)圆和圆的位置关系 376

1.两个圆外离 376

2.两个圆外切 376

3.两个圆相交 376

7.圆心距 377

9.外公切线 377

8.两圆的公切线 377

4.两个圆内切 377

6.切点 377

5.两个圆内含 377

10.内公切线 378

11.公切线的长 378

12.线段(圆弧)和圆弧在一点连接 378

13.圆与圆的位置关系(知识小结) 379

5.正多边形的中心角 380

4.正多边形的边心距 380

3.正多边形的半径 380

1.正多边形 380

(四)正多边形和圆的概念 380

2.正多边形的中心 380

6.扇形 381

7.弓形 381

(五)四种命题之间的关系 381

1.互逆命题 381

2.互否命题 382

3.互为逆命题 382

4.四种命题形式上的相互关系 382

5.一个命题与其他三种命题之间的真假关系 382

1.点的轨迹 383

2.几种基本轨迹 383

(六)点的轨迹 383

6.等价命题 383

二、性质 定理 385

(一)圆 385

1.圆的存在唯一性定理 385

2.圆的对称性 385

3.垂径定理 385

4.圆的旋转不变性 386

5.圆的相等关系定理 387

6.圆的不等关系定理 387

7.圆心角度数定理 388

8.圆周角的度数定理 388

12.圆内接四边形的判定 389

11.圆内接四边形的性质定理 389

9.圆内角度数定理 389

10.圆外角度数定理 389

13.托勒密定理 390

(二)直线和圆的关系 391

1.直线和圆的位置关系的性质定理、判定定理 391

2.切线的判定定理 391

3.切线的性质定理 392

4.切线长定理 392

5.圆的外切四边形的性质定理 392

6.圆的外切四边形的判定定理 392

8.弦切角定理的推论 393

9.相交弦定理 393

7.弦切角定理 393

10.割线定理 394

11.切割线定理 394

12.圆幂定理 395

13.托勒密定理的逆定理 395

14.西摩松定理 395

15.西摩松定理的逆定理 395

(三)圆和圆的位置关系 396

1.两圆位置关系的性质定理 396

2.两圆位置关系的判定定理 396

3.相交两圆的性质定理 397

4.相切两圆的连心线，经过切点 397

1.正多边形的判定定理 398

5.公切线长定理 398

(四)正多边形和圆的定理 398

2.正多边形的性质定理(1) 399

3.正多边形的性质定理(2) 399

4.正多边形的性质定理(3) 399

5.正多边形的性质定理(4) 399

6.正多边形面积定理 400

7.正多边形相似的判定定理 400

8.正多边形相似的性质定理 400

(二)正多边形有关的计算 401

3.内公切线长的计算 401

2.外公切线长的计算 401

1.圆外一点到圆的切线长 401

(一)切线长的计算 401

三、公式 401

(三)圆的度量 403

四、应用 404

(一)典型方法 404

1.利用基本图形证题 404

2.利用添辅助线(公切线、公共弦)证题 406

3.巧用四点共圆证题 407

4.用等量代换证线段成比例 408

用等长线段代换 408

用等量比代换 409

用等量积代换 411

5.巧用方程处理几何证明、几何计算问题 412

6.巧用面积证题 414

7.正多边形的边长与其外接圆半径间的关系 416

(二)融合训练 418

(三)趣味与应用 432

数学史料选 439

1.关于代数学的史料 439

2.记数法 440

3.关于数学符号的史料 441

4.杨辉三角形 442

5.关于正负数及其运算的史料 444

6.方程 445

7.中国古代的应用题 449

鸡兔同笼问题 449

余米推数问题 449

湖深问题 450

直角三角形问题 450

不定方程问题 451

8.欧氏几何学 451

9.勾股定理 452

10.圆周率 454

11.三角学史料 455

附录 457

常数表 457

希腊字母表 458

数 459

等式与不等式性质比较 460

方程和不等式 461

一元一次不等式组的解的几种情况 461

一元一次不等式的解法表 462

含有绝对值符号的不等式 462

方根表 462

不完全一元二次方程的解的情况 463

一元二次方程根与系数间的关系 463

增根与遗根 464

三角函数间的关系表 465

方程组标准型和解法 465

三角形边角关系表 466

解三角形的四种情况表 467

解斜三角形ABC中，如遇已知条件是两边及一边的对角时，解的情况表 468

线的基本概念 469

相交线 平行线 470

三角形 471

四边形 474

几种特殊四边形的性质和判定 475

面积 勾股定理 476

函数表 477

相似形 479

圆 480