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第一章 自然数 1

引言 1

1．整数计算 1

2．数系中的无限数 数学归纳法 8

第一章补充 数论 19

引言 19

1．质数 19

2．同余式 28

3．毕氏数与菲玛最後定理 35

4．欧几里得算术 37

1．有理数 47

引言 47

第二章 数系 47

2．不可通约量的线段，无理数及极限观念 52

3．解析几何简介 63

4．无限的数理解析 67

5．复素数 76

6．代数数与超越数 88

第二章补充 集合代数 93

第三章 几何作图 数体的代数 101

引言 101

第一部分 不可能性的证明与代数 103

1．基本几何作图 103

2．可作图的数与数体 109

3．三个不可解的希腊问题 115

第二部分 几个不同的作图方法 120

4．几何变换 反演变换 120

5．用其他工具的作图法 仅用圆规的Mascheroni作图法 125

6．再论反演变换及其应用 136

第四章 射影几何学 公理 非欧几何学 145

1．引言 145

2．基本概念 147

3．交比 151

4．平行性与无限大 159

5．应用 163

6．解析表示 169

7．仅用直尺的作图问题 173

8．圆锥曲线与二次曲面 175

9．公设与非欧几何学 190

附录 高度空间的几何学 201

第五章 拓朴学 207

引言 207

1．多面体的Euler公式 208

2．图形的拓朴性质 212

3．拓朴定理的其他例子 216

4．曲面的拓朴分类 226

附录 234

引言 241

第六章 函数与极限 241

1．变数与函数 242

2．极限 256

3．藉连续趋近求极限 269

4．连续概念的精确定义 275

5．有关连续函数的两基本定理 277

6．Bolzano定理的一些应用 281

第六章补充 有关极限与连续进一步的例题 285

1．极限的例题 285

2．连续的例题 290

引言 291

第七章 极大与极小 291

1．初等几何学的问题 292

2．极值问题的一般原理 300

3．逗留点（Stationary point）与微分运算 303

4．Schwarz的三角形问题 307

5．Steiner的问题 315

6．极值与不等式 322

7．极值的存在：Dirichlet原理 325

8．等周长的问题 332

9．具有界限条件的极值问题 Steiner问题与等周长问题间的关连 335

10．变分法 337

11．极小值问题的实验解答及皂膜实验 343

引言 357

第八章 微积分学 357

1．积分 358

2．导数 371

3．微分的技巧 382

4．莱布尼兹的记号与“无限小” 387

5．微积分学的基本定理 389

6．指数函数与对数 395

7．微分方程式 405

第八章补充 413

1．原理方面的问题 413

2．大小之阶数 419

3．无穷级数与无限积 422

4．得自统计方法的质数定理 431

附录：补述，问题与习题 435

算术与代数 435

解析几何 436

几何作图 441

射影与非欧几何学 442

拓朴学 443

函数，极限与连续 445

极大与极小 446

微积分学 448

积分的技巧 450

索引 455