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第一章 矢量概念及两种基本运算 1

1.1 矢量的概念 1

一、标量和矢量 1

二、矢量的种类 2

三、矢量的相等 3

四、零矢量、逆矢量及单位矢量 4

五、共线矢量和共面矢量 5

习题 7

1.2 矢量加减法 8

一、两个矢量的和 8

二、矢量加法的性质 12

三、矢量的减法 15

习题 18

1.3 数乘矢量 20

一、数与矢量的积 20

二、数乘矢量的性质 23

三、矢量等式及其变换 26

习题 28

1.4 矢量的分解 30

一、概述 30

二、平面上矢量的分解 30

三、空间中矢量的分解 34

四、线性相关、矢量间的线性关系 36

习题 40

第二章 矢量与坐标 42

2.1 矢量的投影表示法 42

一、轴上矢量的代数量及两矢量间的夹角 42

二、矢量在轴上的投影 43

三、投影定理 44

习题 48

2.2 矢量的坐标 49

一、直角坐标系 49

二、矢量的坐标分解式 51

三、用坐标分解法进行矢量运算 54

四、矢量的模和方向余弦 61

习题 67

2.3 坐标变换 69

一、平移变换 70

二、旋转变换 72

三、运动变换 77

习题 78

第三章 矢量的乘积 80

3.1 矢量的标积 80

一、标积的概念 80

二、标积的性质 81

三、标积的坐标表示法 86

习题 90

3.2 矢量的矢积 92

一、矢积的概念 92

二、矢积的性质 94

三、矢积的坐标表示法 100

习题 105

3.3 矢量的混合积与二重矢积 107

一、三个矢量的乘积 107

二、矢量混合积的几何意义 108

三、混合积的代数性质 110

四、混合积的坐标表示法 114

五、二重矢积 117

习题 122

3.4 张量概念简介 123

一、从物理上引入二阶张量 123

二、张量及其运算 125

第四章 矢性函数的微分和积分 130

4.1 矢性函数的概念 130

一、矢性函数的定义 131

二、曲线的参数方程 132

4.2 矢性函数的极限和连续性 134

一、矢性函数的极限的定义 134

二、极限的运算法则 134

三、矢性函数的连续性 139

4.3 矢性函数的微分法 139

一、矢性函数的导数 140

二、导矢的几何意义 142

三、位矢函数r(f)的导矢？的物理意义 143

四、矢性函数的微分 144

五、矢性函数的导数公式 145

4.4 对导矢的进一步讨论 150

一、导矢在两个方向的分解 150

二、导矢在力学上的简单应用 153

三、r (S)的几何意义 155

4.5 几种具有特殊性质的矢性函数 158

一、模为定值的矢性函数 158

二、具有固定方向的矢性函数 159

三、平行于定平面的矢性函数 159

4.6 矢性函数的积分 161

一、矢性函数的不定积分 161

二、矢性函数的定积分 162

4.7 多元矢性函数的微分和积分 163

一、多元矢性函数的偏导数 168

二、多元矢性函数的全微分 171

三、多元矢性函数的积分 172

习题 175

第五章 场、梯度、散度及旋度 179

5.1 场 179

一、场的概念 179

二、数量场的等值面 181

三、矢量场的矢量线 183

习题 190

5.2 数量场的梯度 191

一、方向导数 191

二、梯度 198

习题 212

5.3 矢量场的散度 215

一、通量 216

二、散度 226

习题 236

5.4 矢量场的旋度 238

一、环量 238

二、旋度 245

习题 263

第六章 有势场、管形场和调和场 266

6.1 有势场 266

一、有势场与势函数的概念 266

二、矢量场是有势场的充要条件 268

三、计算举例 274

6.2 管形场 281

一、管形场与矢量势的概念 281

二、矢量场是管形场的充要条件 283

三、连续性方程 284

四、热传导方程 288

五、计算举例 290

6.3 调和场 293

一、调和场与调和函数的概念 293

二、矢量场是调和场的充要条件 295

三、平面调和场 296

四、格林第一、第二公式 299

五、计算举例 300

6.4 场的分类与场的确定性 305

一、场的分类 305

二、场的确定性问题 308

习题 310

第七章 正交曲线坐标系 313

7.1 正交曲线坐标系 313

一、正交曲线坐标的概念 313

二、柱面坐标系 316

三、球面坐标系 317

四、曲线元素、曲面元素和体积元素在正交曲线坐标系中的表示式 318

7.2 梯度、散度、旋度及调和量在正交曲线坐标系中的表示式 322

一、梯度的表示式 322

二、散度的表示式 323

三、旋度的表示式 325

四、调和量的表示式 327

五、计算举例 328

习题 333

附录 V算子 336

一、V算子的运算性质 336

二、V算子的基本公式 339

三、计算举例 340

习题答案 345