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目 录第一章函数与极限 1

第一节函数 1

一、函数概念 二、函数的几种特性 三、反函数四、基本初等函数 五、复合函数、初等函数第二节数列的极限 8

一、数列 二、数列的极限 三、数列收敛的必要条件和充分条件第三节函数的极限 14

一、x→x0时函数f（x）的极限 二、x→∞时函数f（x）的极限第四节变量的极限、无穷小量与无穷大量 21

一、变量的极限 二、无穷小量 三、无穷大量第五节极限的运算法则 27

第六节两个重要极限 31

第七节无穷小量的比较 36

第八节函数的连续性 38

一、函数的连续性 二、函数的间断点及其分类 三、闭区间上连续函数的性质习题一 48

第一节导数的概念 55

第二章导数与微分 55

一、三个实例 二、导数定义 三、导数的几何意义和物理意义 四、可导与连续的关系第二节函数的和、差、积、商的求导法则 65

一、函数和、差的求导法则 二、函数积的求导法则三、函数商的求导法则第三节反函数的导数 70

一、反函数的导数二、指数函数的导数三、反三角函数的导数第四节复合函数的导数 73

第五节高阶导数 78

一、n阶导数 二、二阶导数的物理意义 三、几个初等函数的n阶导数公式第六节 隐函数及其导数、由参数方程所确定的函数的导数 80

一、隐函数及其导数 二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数第七节函数的微分 87

一、微分的概念 二、微分的运算法则和基本公式第八节微分在近似计算及误差估计中的应用 93

一、微分在近似计算中的应有 二、微分在误差估计中的应用习题二 97

第三章中值定理与导数的应用 106

第一节中值定理 106

一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理第二节罗比塔法则 111

第三节泰勒公式 117

第四节函数单调性的判别法 123

第五节函数的极值及其求法 127

第六节最大值、最小值问题 132

第七节曲线的凸凹与拐点 135

第八节函数图形的描绘 139

一、曲线的渐近线 二、函数图形的描绘习题三 146

第四章不定积分 151

第一节不定积分的概念与性质 151

一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分公式三、不定积分的性质第二节换元积分法 160

一、第一类换元法 二、第二类换元法第三节分部积分法 174

第四节几种特殊类型函数的积分举例 180

一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分第五节积分表的使用 192

习题四 194

第五章定积分 199

第一节定积分概念 199

一、定积分问题举例 二、定积分定义第二节定积分的性质、中值定理 206

第三节微积分基本公式……………………………… （211 ）一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿－莱布尼兹公式第四节定积分的计算 217

一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法第五节广义积分……………………………………… （226 ）一、无穷限的广义积分二、被积函数有无穷间断点的广义积分第六节定积分的近似计算 236

一、矩形法 二、梯形法 三、抛物线法习题五 242

第六章定积分的应用 246

第一节定积分的元素法 246

第二节平面图形的面积 248

一、直角坐标情形 二、极坐标情形第三节体积 254

一、平行截面面积为已知的立体的体积 二、旋转体的体积*第四节平面曲线的弧长 259

一、直角坐标情形 二、参数方程情形第五节功、水压力 261

一、变力沿直线所作的功 二、水压力习题六 265

第七章常微分方程 268

第一节常微分方程的基本概念 268

第二节一阶常微分方程 271

一、可分离变量的一阶微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、贝努里方程第三节可降阶的高阶微分方程 279

一、y(n)=f(x)类型的微分方程 二、F(xy′,y″)=0类型的微分方程 三、F(y,y′y″)=0类型的微分方程第四节 二阶常系数线性微分方程 282

一、线性微分方程的解的结构 二、二阶常系数齐次线性微分方程 三、二阶常系数非齐次线性微分方程习题七 294

第八章空间解析几何 297

第一节空间直角坐标系 297

一、空间点的直角坐标 二、空间两点间的距离第二节 向量及其加减法、向量与数量的乘法 300

一、向量概念 二、向量的加减法 三、向量与数量的乘法第三节向量的坐标表示式 304

一、向量的坐标表示式二、向量的模与方向余弦的坐标表示式第四节两向量的数量积和向量积 307

一、数量积 二、向量积第五节平面及其方程 311

一、平面的点法式方程 二、平面的一般式方程 三、两平面的夹角第六节空间的直线及其方程 315

一、空间直线的方程二、两直线的夹角三、直线与平面的夹角第七节曲面及其方程 320

一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面第八节空间曲线及其方程 325

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第九节二次曲面 328

习题八 330

第九章多元函数微分学 334

第一节多元函数的基本概念 334

一、多元函数概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性第二节偏导数 341

一、偏导数概念及其计算 二、高阶偏导数第三节全微分及其应用 345

一、全微分的概念 二、全微分在近似计算中的应用第四节复合函数与隐函数的微分法 349

一、复合函数微分法 二、隐函数的微分法第五节多元函数的极值 357

一、多元函数的极值 二、多元函数的最大值与最小值三、条件极值、拉格朗日乘数法 四、最小二乘法习题九 368

第十章重积分 372

第一节二重积分的概念与性质 372

一、二重积分问题举例 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质第二节二重积分的计算 377

一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分第三节三重积分的概念及其计算 390

一、三重积分的概念 二、三重积分的计算第四节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 395

一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分习题十 401

第十一章曲线积分 407

第一节对弧长的曲线积分 407

一、对弧长曲线积分的概念 二、对弧长曲线积分的性质三、对弧长曲线积分的计算法第二节对坐标的曲线积分 412

一、对坐标曲线积分的概念 二、对坐标曲线积分的性质三、对坐标曲线积分的计算法四、对弧长与对坐标的两类曲线积分的联系第三节格林定理及其应用 422

一、格林定理 二、平面上曲线积分与路径无关的条件习题十一 428

第十二章无穷级数 431

第一节常数项无穷级数的概念和基本性质 431

一、常数项级数的概念 二、常数项级数的基本性质第二节正项级数 437

一、基本定理 二、级数的比较定理 三、正项级数的达朗贝尔判别法和柯西判别法第三节交错级数 444

第四节绝对收敛与条件收敛 445

第五节幂级数 448

一、函数项级数的概念 二、幂级数的概念及其收敛性三、幂级数的运算第六节函数的幂级数展开式及其应用 456

一、泰勒级数二、函数展开成幂级数三、幂级数的应用举例习题十二 466

习题答案 471

附录Ⅰ 基本初等函数的图形及其主要性质 496

附录Ⅱ积分表 502