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目 录 1

绪论 1

第一章数学物理反问题的提法 6

§1.1 振动系统中的反问题 6

1.1.1地震勘探——本书重点讨论的应用实例 6

1.1.2振动探伤 12

1.1.3频域上的反问题 15

§1.2 扩散（传导）系统中的反问题 17

1.2.1石油、地下水与天然气的开发问题 17

1.2.2两相分界面的辨识问题 19

1.2.3热传导反问题 24

§1.3 稳态分布中的反问题 27

1.3.1扩散炉的炉丝设计问题 27

1.3.2心脏死亡问题 30

1.3.3隧道工程中由实测位移反演介质及初始应力场 31

1.3.4 CT技术中的反问题 34

§1.4 数学物理反问题的一般提法 35

练习与思考（一） 38

§2.1 泛函分析预备知识 41

2.1.1抽象空间概念 41

第二章反演中的若干理论问题 41

2.1.2本书所用到的函数空间定义与符号 44

2.1.3泛函与算子 45

2.1.4广义函数与广义导数 48

§2.2 解反问题的特点与难点 50

2.2.1解反问题的特点 50

2.2.2解反问题的难点 51

§2.3 反问题的解的定义 57

2.3.1精确解 57

2.3.2最优控制解 57

2.3.4选择解 59

2.3.3最小偏差解 59

2.3.5正规解 60

2.3.6正则解 61

§2.4 解的适定性问题 62

2.4.1唯一性问题 62

2.4.2稳定性反例 68

2.4.3收敛性问题 70

§2.5 灵敏度 73

2.5.1灵敏度的定义 73

2.5.2灵敏度与解的适定性 74

2.5.3灵敏度与非线性 75

2.5.4灵敏度应用实例 76

练习与思考（二） 81

第三章线性代数方程中的反演问题 83

§3.1 最小方差解 84

3.1.1最小方差解的定义 84

3.1.2最小方差解的统计特性 86

3.1.3最小方差解的一些特殊算法 89

§3.2 求系统的脉冲响应 99

3.2.1脉冲响应的最小方差估计 99

3.2.2相关函数，维纳一霍夫方程 101

3.2.3最优输入讯号及其近似构成 104

3.2.4方法综合 107

§3.3 已知部分解条件下的反演 108

3.3.1反演非齐次项 109

3.3.2反演系数 117

§3.4 欠定条件下的反演 120

3.4.1求正规解 122

3.4.2正规解的不稳定性 123

3.4.3求正则解 126

附录产生PRBS的计算机程序 129

练习与思考（三） 129

4.1.1问题的提出 131

§4.1 基本概念与不适定问题的例子 131

第四章一般线性系统的不适定问题 131

4.1.2不适定问题的例子 133

§4.2 选择解与最小偏差解 139

4.2.1选择解 139

4.2.2最小偏差解 141

4.2.3最小偏差解的近似求法 145

§4.3 正则化方法 147

4.3.1正则逆算子 147

4.3.2构造正则逆算子 150

4.3.3正则化方法 153

4.3.4解对算子的连续依赖性 155

4.3.5正则参数的确定 157

§4.4 用正则法解应用问题 160

4.4.1解第一类积分方程 160

4.4.2确定各种辐射的谱 162

4.4.3 由长电缆的输出计算输入 164

练习与思考（四） 169

第五章最佳控制方法——变分方法 171

§5.1 最佳控制问题的一般提法 171

5.1.1系统的状态方程 171

5.1.2容许控制集与可比控制集 173

5.1.4最佳控制与古典变分问题的区别 174

5.1.3泛函指标 174

§5.2变分方法基础 175

5.2.1微分公式与极值问题 175

5.2.2变分学与Eular公式 178

5.2.3最速下降法 184

§5.3 最佳控制的乘子方法及其应用 185

5.3.1集中参数系统的乘子方法 185

5.3.2分布参数系统的乘子方法 191

5.3.3乘子法应用例题 196

5.4.1基本定理 202

§5.4 脉冲变分原理 202

5.4.2控制仅依赖部分变元的脉冲变分原理 212

§5.5 脉冲变分原理的应用 213

5.5.1源函数的最优设计（或辨识问题） 213

5.5.2地震勘探问题 219

§5.6 灵敏度计算 224

练习与思考（五） 228

第六章其它若干解反问题的方法 231

§6.1 脉冲谱方法 231

6.1.1脉冲谱方法的基本思路 231

6.1.2脉冲谱方法应用举例 236

6.1.3几点讨论 241

§6.2 扰动方法 242

6.2.1扰动方法基础 243

6.2.2解双线性系统的反问题 246

6.2.3解非线性系统的反问题 249

6.2.4几点讨论 251

§6.3 典型函数近似法 252

6.3.1典型函数近似法的基本思想 253

6.3.2几种近似方法举例 255

6.3.3 Duhamel公式 259

6.3.4随采样时间增加的递推算法 262

6.3.5热传导反问题的灵敏度计算 264

§6.4 求未知边界问题 265

6.4.1几何变换法 265

6.4.2优化方法 268

练习与思考（六） 271

第七章波动现象反演的特殊方法 273

§7.1 一维波动方程沿特征线积分反演 274

7.1.1一维方程组模型 274

7.1.2沿特征线积分 275

7.1.3反演计算 278

§7.2 一维分层介质逐层递推反演 280

7.2.1 Cauchy问题模型与正演公式 281

7.2.2噪声积累的估计 284

7.2.3反演递推公式 285

7.2.4消除积累误差 288

§7.3 吸收边界条件 290

§7.4 Born近似与频域上的反演 293

7.4.1一维Born近似 293

7.4.2频域反演公式 296

7.4.3频域反演的特殊性 302

7.4.4多层介质与误差的积累 305

§7.5 固有值反问题 307

7.5.1基本概念与问题的提出 307

7.5.2唯一性、比较定理与渐近估计 313

7.5.3反演方法 316

练习与思考（七） 321

第八章分布参数系统控制中的几类应用问题 323

§8.1 综述 324

8.1.1历史简介 324

8.1.2分析与发展 325

§8.2 大滞后分布对象的复合控制系统 329

8.2.1问题与模型 329

8.2.2稳态分布关系 331

8.2.3稳态前馈补偿 333

8.2.4复合控制系统 334

8.2.5综合说明 337

§8.3 远距离多个热负载的节能控制系统 338

8.3.1数学模型与控制问题 338

8.3.2控制系统设计 342

8.3.3控制系统评价 347

§8.4 大型分布对象的最佳控制 348

8.4.1模型 348

8.4.2稳态控制问题 351

8.4.3动态控制问题 353

8.5.1观测点的选择 354

§8.5 观测点与控制点的选择 354

8.5.2控制点的选择 355

8.5.3动态控制点的最佳选择 356

练习与思考（八） 359

第九章反演方法的评价与系统仿真 361

§9.1 反演方法的检验 361

§9.2 反演效果的评价指标 366

§9.3 系统建模与仿真 368

9.3.1系统仿真与模型 368

9.3.2模型误差分析 370

9.3.3在线辨识与建模 374

参考文献 376