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第1章 线性变换 1

1.1 线性变换的定义 1

1.1A 附录:域的概念 2

1.2 线性变换的矩阵表示 3

1.2.1 矩阵的定义 3

1.2.2 矩阵的运算 4

1.2.3 线性变换的矩阵表示 6

1.3 线性变换与线性空间 7

1.3.1 线性变换的性质 7

1.3.2 矢量空间和矢量子空间 7

1.3.3 线性变换与矢量空间映射的定理 8

1.4 矢理空间的基 9

1.4.1 矢量的线性无关与线性相关 9

1.4.2 矢量空间的基与维数 11

1.5 线性变换与矢量空间映射的定理的明晰化 13

1.6 非奇异与奇异线性变换及有关定理 13

1.6.1 非奇异与奇异线性变换 13

1.6.2 线性变换的映射性质 14

1.6.3 非奇异线性变换的一一映射性质 14

1.6.4 非奇异线性变换具有逆变换 15

1.6.5 奇异线性变换的情况 17

第2章 群 19

2.1 非奇异线性变换总体的性质 19

2.1.1 非奇异线性变换具有逆变换 19

2.1.2 非奇异线性变换具有恒同变换 19

2.1.3 线性变换之积 20

2.1.4 线性变换的乘法满足合律 21

2.1.5 非奇异线性变换的几何意义 22

2.2 抽象群的定义 23

2.2.1 定义 23

2.2.2 说明与例子 24

2.2.3 附录:域的另一定义 26

2.3 一般线性群 27

2.3.1 线性变换群 27

2.3.2 矩阵群 27

2.3.3 群的同构 28

2.3.4 一般线性群 29

2.3.5 连续群 29

2.4 仿射变换群 29

2.4.1 子群 29

2.4.2 仿射变换群 30

2.4.3 仿射变换群的子群 31

2.5 正交群 31

2.5.1 正交变换 31

2.5.2 转置矩阵 32

2.5.3 标积的定义 32

2.5.4 正交矩阵 33

2.5.5 正交变换保持标积不变 33

2.5.6 等价关系 33

2.5.7 正交群 34

2.5.8 刚体运动的Euclid群 35

2.6 幺正群 36

2.6.1 幺正变换 36

2.6.2 Hermite矩阵 36

2.6.3 幺正矩阵 36

2.6.4 幺正变换保持标积不变 37

2.6.5 幺正群 37

2.7 置换群 38

2.7.1 置换的定义 38

2.7.2 置换矩阵 38

2.7.3 对称群的定义 39

2.7.4 置换、轮换与对换 40

2.7.5 对称群有关定理 42

2.7.6 置换群 44

2.8 群同构的具体例子 45

第3章 行列式 50

3.1 行列式的定义 50

3.2 行列式的主要性质 52

3.3 行列式的展开 55

3.3.1 子行列式 55

3.3.2 行列式按行（或列）展开 57

3.3.3 行列式的Laplace展开 59

3.3.4 行列式值的计算——凝聚法 61

3.4 矩阵的分块运算 63

3.4.1 矩阵的分块乘法 63

3.4.2 同阶矩阵之积的行列式 64

3.4.3 同阶行列式的乘积 65

3.4.4 分块矩阵的行列式 65

3.5 矩阵的秩 66

3.5.1 秩的定义 66

3.5.2 满秩方阵的有关定理 66

3.5.3 列秩与行秩及有关定理 67

3.6 矩阵求逆 68

3.6.1 利用伴随矩阵求逆 68

3.6.2 利用矩阵的变换求逆 69

3.6.3 利用矩阵的分块运算求逆 70

3.6.4 逐步求近法 71

3.7 矩阵的迹 71

3.8 若干特种行列式 72

3.8.1 Vandermonde行列式 72

3.8.2 Jacobi行列式 73

3.8.3 Wronski行列式 75

3.9 行列式的导数与极限 76

3.9.1 行列式的导数 76

3.9.2 行列式的极限 77

第4章 线性方程组的求解 78

4.1 引言 78

4.2 Gauss消元法 79

4.2.1 用消元法求数值解的例子 79

4.2.2 关于数值解的讨论 82

4.3 Cramer法则 83

4.4 迭代法 84

4.4.1 几种常用迭代法 85

4.4.2 迭代格式的矩阵形式 86

4.4.3 迭代收敛性 87

4.4.4 松驰因子的选取 88

4.4.5 一个例子 88

习题 89

第5章 矢量与张量分析 92

5.1 矢量与张量的定义 92

5.2 Descartes张量 93

5.2.1 正交变换 93

5.2.2 Descartes张量 94

5.2.3 Descartes张量的例子 96

5.3 Descartes张量的运算 97

5.3.1 张量的线性相加 97

5.3.2 张量的相等 97

5.3.3 零张量 98

5.3.4 单位张量 98

5.3.5 张量的缩并 99

5.3.6 张量的乘法 99

5.3.7 张量的缩乘 100

5.3.8 张量的导数 100

5.3.9 张量方程 102

5.4 对称和反对称张量 102

5.4.1 张量指标的置换 102

5.4.2 对称和反对称张量 103

5.4.3 全反对称张量·赝张量 105

5.5 赝Euclid张量 110

5.6 广义坐标变换下的张量 112

5.6.1 广义坐标变换 112

5.6.2 反变矢量 114

5.6.3 标量场 115

5.6.4 协变矢量 115

5.6.5 混变张量 116

5.7 混变张量的代数运算 117

5.7.1 张量的加法和减法 117

5.7.2 张量的缩并 118

5.7.3 张量的乘法 118

5.7.4 对称和反对称张量 119

5.8 度规张量 120

5.8.1 度规张量 120

5.8.2 反应度规张量 121

5.8.3 相伴张量 121

5.8.4 指标的升降 121

5.8.5 张量方程中的指标定则 122

5.9 标量密度与张量密度 122

5.9.1 标量密度 122

5.9.2 标量积分元 123

5.9.3 张量密度 124

5.10 商定律 124

5.11 张量的微分运算 126

5.11.1 矢量平衡与仿射联络 126

5.11.2 Levi-Civita联络 128

5.11.3 张量的协变导数 130

5.11.4 张量的协变散度 133

5.11.5 联络系数的变换律 134

5.11.6 曲率张量 136

第6章 二次型和主轴变换 142

6.1 二次型与Hermite型 142

6.1.1 二次型 142

6.1.2 Hermite型 142

6.2 主轴变换 143

6.2.1 主轴变换的定义 143

6.2.2 主轴变换的意义 143

6.3 本征值问题 146

6.3.1 本征值的确定及性质 146

6.3.2 本征矢及其性质·矩阵的对角化 148

6.4 本征值的极值性质 152

6.4.1 极值原理 153

6.4.2 主轴变换的具体步骤 153

6.4.3 变分形式 155

6.5 Sylvester惯性律 156

习题 157

第7章 线性积分方程 165

7.1 积分方程 165

7.1.1 定义和分类 165

7.1.2 地应无穷代数方程组 166

7.2 第二类积分方程的Fredholm解 167

7.2.1 对应代数方程组及其解法 167

7.2.2 Fredholm行列式 168

7.2.3 Fredholm解 170

7.2.4 例子 172

7.3 第二类积分方程的Liouville迭代解 174

7.4 齐次积分方程 175

7.4.1 有非平凡解的条件 175

7.4.2 看作本征值问题 176

7.4.3 对称核与Schmidt定理 176

7.4.4 本征函数的正交归一化 177

7.4.5 求本征值和本征矢的Aitken方法 178

7.4.6 齐次积分方程的本征函数系 180

7.5 第二类积分方程的Hilbert-Schmidt解法 181

习题 183

第8章 函数空间 189

8.1 引言 189

8.1.1 基本概念 189

8.1.2 Schwarz不等式 189

8.1.3 备注 191

8.2 正交归一函数系 191

8.2.1 定义 191

8.2.2 线性无关性 192

8.2.3 完备性 192

8.3 Fourier级数 192

8.3.1 三角函数系 192

8.3.2 函数的Fourier级数展开 194

8.3.3 Parseval公式 195

8.3.4 应用例子 195

8.3.5 Fourier级数的复数形式 198

8.3.6 二维和三维空间的情形 199

8.4 Fourier变换 200

8.4.1 Fourier积分 200

8.4.2 Fourier积分的复数形式 201

8.4.3 Fourier变换与Fourier逆变换 202

8.4.4 Parseval公式 203

8.4.5 卷积定理 204

8.4.6 应用例子 205

8.4.7 三维空间和四维时空的情形 210

8.5 运用Fourier分析的条件 211

8.6 相关积分变换 213

8.6.1 Laplace变换 214

8.6.2 Mellin变换 215

习题 216

第9章 变分法 221

9.1 泛函 221

9.1.1 定义和例子 221

9.1.2 无穷个变量的函数 223

9.1.3 无穷维函数空间中的函数 223

9.2 变分法的意义 224

9.2.1 函数的极值问题 224

9.2.2 泛函的极值问题 225

9.3 Euler变分方程 225

9.3.1 泛函的变分导数 225

9.3.2 Euler变分方程·边界条件 227

9.3.3 含高阶导数的情形 230

9.3.4 几个变函数的情形 231

9.3.5 变函数为复函数的情形 232

9.3.6 几个参变量的情形 232

9.4 Ritz方法 234

9.5 条件极值问题 235

9.5.1 函数的条件极值 235

9.5.2 泛函的条件极值 236

9.5.3 一般的条件极值 237

9.6 曲线坐标系下Laplace方程的推导 237

9.6.1 变分法问题 238

9.6.2 坐标变换 239

9.6.3 一般结果 240

9.6.4 具体例子 241

9.7 变分原理 244

9.7.1 Hamilton正则运动方程 244

9.7.2 Maxwell电磁场方程组 246

9.7.3 Schrodinger波动力学方程 248

9.7.4 小结 249

第10章 微分方程绪论 250

10.1 引言 250

10.1.1 微分方程的有关定义 250

10.1.2 常微分方程示例 250

10.1.3 偏微分方程示例 252

10.2 微分方程的等价问题 253

10.2.1 常微分方程的等价定理 253

10.2.2 偏微分方程的等价问题 257

10.3 初值问题解的存在性定理 258

10.3.1 存在性定理 258

10.3.2 简单例子 260

10.3.3 通解中的任意常数或任意函数 262

10.3.4 微分方程与差分方程 263

10.4 边值问题解的方法 264

10.5 一阶偏微分方程的一般理论 266

10.6 微分方程参考书 268

第11章 二阶线性偏微分方程 270

11.1分类和举例 270

11.2 抛物型微分方程的解 272

11.2.1 热传导方程的物理推导 272

11.2.2 热传导方程的一般解法 273

11.2.3 具体例子 275

11.2.4 边界条件与Green函数 278

11.2.5 地导的热传导问题 281

11.3 双典型及椭圆型微分方程的解 284

11.3.1 引言 284

11.3.2 D Alembert方程的Kirchhoff公式 286

11.3.3 Kirchhoff公式的证明 288

11.3.4 波动方程的叠加原理解法 293

第12章 二阶线性常微分方程 300

12.1 引论 300

12.1.1 解的基本概念 300

12.1.2 降价法 301

12.1.3 初值问题的另一看法 303

12.1.4 函数的级数表示和积分表示 304

12.2 复变函数论概要 304

12.2.1 解析函数的定义 304

12.2.2 函数的奇点与支点 308

12.2.3 解析函数的CR条件·共形映射 310

12.2.4 解析函数有关定理 313

12.2.5 解析函数的表示方法与解析延拓 322

12.2.6 T函数和B函数 325

12.3 常点领域内的级数解 329

12.3.1 方程的奇点与常点 330

12.3.2 Legendre微分方程 331

12.3.3 级数解法的具体步骤 334

12.3.4 解析延拓问题 335

12.4 正则奇点领域内的正则解 337

12.4.1 方程的正则奇点 337

12.4.2 正则解的指标方程 338

12.4.3 超几何微分方程 340

12.4.4 Legendre方程 350

12.5 非正则奇点领域内的常规解 359

12.5.1 方程的非正则奇点 360

12.5.2 常规解 360

12.5.3 汇合型超几何方程 362

12.5.4 Whittaker方程 365

12.5.5 Bessel方程 367

第13章 微分方程的数值解法 376

13.1 数值方法的重要性 376

13.2 Weierstrass定理 376

13.3 插值法 377

13.3.1 多项式插值 377

13.3.2 三次样条插值 379

13.4 数值微分和积分 381

13.4.1 数值微分 381

13.4.2 数值积分 383

13.5 微分方程的数值解法 386

13.5.1 Runge-Kutta法 386

13.5.2 Adams法 387

13.5.3 预估校正法 389

13.5.4 二阶常微分方程 390

13.6 数值计算方法程序库 391

索引 393