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目 录 1

第一篇复变函数 1

第一章 复变量函数 1

§1复数 1

§2复平面上的点集 5

§3复变量函数 10

§4 初等函数 16

§5多值函数的有关概念 20

§6多元复变函数 23

习题 24

第二章解析函数 28

§1解析函数和Cauchy-Riemann条件 28

§2 Cauchy定理 31

§3原函数和不定积分 36

§4 Cauchy积分公式及有关结论 38

§5 Cauchy型积分 40

§6解析函数的高阶导数 42

习题 44

§1复数项级数 46

第三章解析函数的级数表达 46

§2函数级数 48

§3广义积分、Γ函数 51

§4幂级数 55

§5 Taylor级数 57

§6一致性定理和解析开拓 62

§7 Laurent级数 66

习题 69

第四章留数理论和应用 73

§1孤立奇点 73

§2留数定理 79

§3关于零点个数的定理 81

§4留数的计算 84

§5定积分的计算 87

习题 94

第五章保角变换 98

§1保角变换的概念 98

§2分式线性变换 104

§3*保角变换的基本定理 109

§4对称原理及其应用 117

§5 Schwarz积分公式 120

§6多边形区域与上半平面间的保角变换 124

§7保角变换方法解边值问题 133

习题 137

第二篇变分法和积分变换 141

第六章函数空间 141

§1抽象空间概念 141

§2内积的几个基本性质 148

§3算子和线性算子 150

§4广义Fourier级数 158

§5压缩映射的不动点原理 162

§6常微分方程解的存在唯一性定理 163

习题 167

第七章变分法初步 171

§1泛函的极值问题 171

§2包含高阶导数的泛函极值问题 179

§3包含多个未知函数的泛函极值问题 180

§4 多元函数的泛函极值问题 181

§5条件极值问题 183

§6 自然边条件 188

§7应用举例 189

习题 192

第八章δ函数及其应用 195

§1 δ函数的概念及物理背景 195

§2分布理论的基本概念 197

§3分布的运算性质 203

§4分布序列及分布级数 207

§5分布的坐标变换 214

§6*多项式的δ函数序列和Weierstrass定理 216

§7线性微分方程的经典解、弱解和广义解 220

§8用δ函数法解线性常微分方程初值问题 222

§9 Green函数法解二阶线性常微分方程边值问题 224

习题 229

第九章 Fourier变换和Laplace变换 232

§1 Fourier变换 232

§2 Fourier变换的基本性质 235

§3高维Fourier变换 238

§4 Laplace变换 240

§5一些简单函数的Laplace变换 246

§6 Laplace变换的基本公式 247

§7有理真分式的原函数 252

§8 Laplace变换应用举例 255

习题 258

第三篇常微分方程和积分方程 262

第十章线性常微分方程组 262

§1线性常微分方程组的一般形式 262

§2存在唯一性定理和迭代求解 263

§3齐次线性常微分方程组 265

§4非齐次线性常微分方程组 270

§5高阶线性常微分方程 274

习题 279

§1二阶线性齐次常微分方程 281

第十一章常微分方程级数解 281

§2在常点附近的级数解 283

§3正则奇点附近的级数解 287

§4超几何方程 292

习题 298

第十二章线性积分方程 299

§1线性积分方程概述 299

§2线性积分方程的实例 302

§3线性积分方程的逐次逼近解法 305

§4*退化核的Fredholm积分方程 308

§5*连续核的Fredholm积分方程 313

§6 自伴有界线性算子的本征值性质 317

§7连续核积分算子的本征值问题 320

§8 S-L边值问题 326

§9 S-L方程本征值问题 328

§10按S-L方程的本征函数基展开 332

习题 338

第十三章Legendre方程和Bessel方程 341

§1 Legendre方程 341

§2 Legendre方程的本征值问题 343

§3连带Legendre方程 347

§4连带Legendre方程本征值问题 349

§5 Bessel方程级数解 351

§6 Bessel函数 357

§7 Bessel方程本征值问题 365

习题 368

第四篇偏微分方程 375

第十四章 偏微分方程引论 375

§1偏微分方程的有关基本概念 375

§2一阶偏微分方程 379

§3偏微分方程定解问题的建立 384

§4定解问题 389

§5特征线 393

§6二阶线性偏微分方程的分类和标准型 401

§7热传导方程的极值原理及其应用 415

§8椭圆型方程的极值原理及其应用 418

§9能量积分及定解问题解的唯一性 423

习题 426

第十五章波动方程的若干特殊解法 429

§1一维波动方程的d′Alembert解 429

§2波动方程的分区求解 435

§3 Riemann方法 441

§4三维波动方程的平均值方法和降维法 445

习题 450

第十六章分离变量法 452

§1常用微分算子在正交曲线坐标系中的表达式 452

§2分离变量法和本征值问题 460

§3直角坐标系中的分离变量法 467

§4柱坐标系中的分离变量法 476

§5球坐标系中的分离变量法 485

习题 491

§1用积分变换解线性定解问题概述 495

第十七章积分变换法 495

§2 Laplace变换法举例 496

§3 Fou rier变换法举例 500

§4*Hankel变换法 505

§5*Mellin变换法 508

习题 510

第十八章 Green函数法 512

§1 Helmholtz方程边值问题和Green函数 512

§2镜象法求Green函数 519

§3热传导方程边值问题的Green函数法 525

§4波动方程边值问题的Green函数法 531

习题 537

第十九章非线性偏微分方程 539

§1量纲理论 540

§2相似性解 548

§3逆线性偏微分方程组和速度图变换 552

§4相似性解和速度图变换的实例 555

§5线性微分算子与非线性函数的复合 564

§6摄动法简介 567

习题 573