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第一章 概率空间 1

1.1 背景问题 1

1.1.1 引例 1

1.1.2 古典型概率 1

1.1.3 几何型概率 2

1.2 概率空间 3

1.2.1 概率论的公理结构 4

1.2.2 概率的基本性质 5

1.3 概率算法 7

1.3.1 古典型公式 7

1.3.2 条件概率与乘法公式 8

1.3.3 全概率公式与Bayes公式 9

1.3.4 计算概率举例 9

1.4 问题与补充 11

2.1.1 随机变量的定义 14

2.1 分布函数 14

第二章 随机变量 14

2.1.2 随机变量的分布函数 15

2.2 正规分布 16

2.2.1 离散型随机变量 16

2.2.2 连续型随机变量 18

2.3 随机向量 21

2.3.1 联合分布 21

2.3.2 随机变量的独立性与条件分布 22

2.4 变换理论 24

2.4.1 密度变换公式 24

2.4.2 数理统计三大分布 26

2.5 多元正态分布 28

2.5.1 正态向量 28

2.5.2 正态特性 29

2.6 问题与补充 30

3.1.1 数学期望的定义及性质 34

第三章 数学期望 34

3.1 随机变量的数字特征 34

3.1.2 矩与方差 37

3.1.3 协方差与相关系数 40

3.2 条件数学期望 43

3.2.1 条件数学期望的定义 43

7.1 检验模型 1 46

3.2.2 条件期望的性质 46

3.2.3 预报和回归及最小二乘法 47

3.3 信息量 54

3.3.1 特征函数 54

3.3.2 Shannon熵 57

3.3.3 广义信息量 59

3.4 问题与补充 60

第四章 极限定理 65

4.1 大数定律 65

4.1.1弱大数定律 65

4.1.2强大数定律 67

4.2.1 独立同分布随机变量之和 68

4.2 中心极限定理 68

4.2.2 一般结果 70

4.3 渐近分布理论 71

4.3.1 弱收敛 71

4.3.2 样本均值函数的渐近分布 73

4.4 问题与补充 75

第五章 统计模型 84

5.1 基本概念 84

5.1.1 背景与建模 84

5.1.2 一般统计模型 84

5.1.3 数理统计的基本问题 85

5.2 充分统计量与指数分布族 86

5.2.1 充分统计量 86

5.2.2 指数分布族 90

5.3 Bayes模型 91

5.3.1 Bayes原则 91

5.3.2 先验分布的确定 92

5.4 问题与补充 94

第六章 参数估计 96

6.1点估计方法 96

6.1.1 代替原理 96

6.1.2 最大似然原理 99

6.1.3 Bayes原理 102

6.1.4 最小二乘原理 104

6.2 最优估计理论 106

6.2.1 评价标准 106

6.2.2 最优估计的构造 108

6.2.3 信息不等式 118

6.2.4 大样本估计 121

6.2.5 非参数分布函数的估计 124

6.2.6 点估计综合评述 129

6.3.1 置信区间 130

6.3 区间估计 130

6.3.2 置信区间的构造方法 131

6.3.3 高维置信区域 140

6.3.4 置信区域的Bayes观点 141

6.4 问题与补充 142

第七章 假设检验 146

7.1.1 检验问题的提法——原假设与对立假设 146

7.1.2 解决假设检验问题的方式——临界域 147

7.1.3 检验优劣的评价——功效函数 147

7.1.4 两类错误概率的同时控制——不关心区域 151

7.1.5 显著性水平的权威评判——P值 152

7.1.6 假设检验与置信区域的对偶性 154

7.2.1 一致最优检验 156

7.2 最优检验 156

7.2.2 似然比检验 160

7.3 典型举例 167

7.3.1 离散型与随机检验 167

7.3.2 二维正态分布参数检验 177

7.4 问题与补充 186

第八章 线性模型 195

8.1 线性模型的估计理论 195

8.1.1 一般线性统计模型 195

8.1.2 最小二乘估计的优良性 197

8.1.3 区间估计 201

8.2 线性模型的检验方法 202

8.2.1 线性模型检验问题的一般提法 202

8.2.2 检验统计量及其分布 203

8.3.1 预测与控制 205

8.3 应用 205

8.3.2 回归分析 208

8.3.3 方差分析 210

8.4 问题与补充 212

第九章 信息统计 219

9.1 信息处理 219

9.1.1 数据保真压缩 219

9.1.2 最大信息相关 224

9.2 判决理论 226

9.2.1 统计判决问题 226

9.2.2 Bayes风险——平均风险 227

9.2.3 Minimax准则——最大风险 230

9.2.4 信息散度——鉴定问题 231

9.3 问题与补充 236

附表 239

参考书目 244